什么是拐点(Inflection Point)？

拐点是微分学中的一个重要概念，在拐点处，一个函数的曲线会改变它的凹性，也就是说，它从负曲率变为正曲率，反之亦然。这一点可以用不同的方式定义或可视化。在使用曲线对系统进行建模的实际应用中，在预测系统的行为时，找到拐点...

拐点是微分学中的一个重要概念，在拐点处，一个函数的曲线会改变它的凹性，也就是说，它从负曲率变为正曲率，反之亦然。这一点可以用不同的方式定义或可视化。在使用曲线对系统进行建模的实际应用中，在预测系统的行为时，找到拐点通常是至关重要的。微积分中具有烧杯函数的科学家可以在一个由x轴和y轴组成的平面上绘制，称为笛卡尔平面。在任何给定的函数中，x值或输入方程的值都会产生输出，用y值表示。当绘制图形时，这些值形成一条曲线。曲线可以是向上凹的，也可以是向下凹的，这取决于函数在某些值上的行为。向上凹的区域在图形上显示为向上打开的碗状曲线，当一个向下凹的区域向下打开时，这个凹面变化的点就是拐点。有几种不同的方法可以帮助你直观地看到拐点在曲线上的位置。如果一个人要在曲线上放置一个点，画一条直线穿过它，刚好接触到曲线-切线-沿着曲线的路径，拐点会出现在切线穿过曲线的确切点。数学上，拐点是二阶导数改变符号的点。函数的一阶导数测量函数的变化率输入改变，二阶导数测量这个变化率本身是如何变化的例如，一辆汽车在某一时刻的速度用一阶导数表示，而它的加速度（增加或降低速度）用二阶导数表示。如果汽车加速，它的二阶导数是正的，但在它停止加速并开始减速的点上，它的加速度和它的二阶导数变成负值。这是拐点。要用图形化的方式来形象化，记住函数曲线的凹度是用它的二阶导数来表示的。正的二阶导数表示向上的凹曲线，负二阶导数表示曲线是向下凹的。在图上很难精确地确定拐点，因此对于需要知道其确切值的应用，可以用数学方法求解拐点。求函数拐点的一种方法是取第二个拐点求导，设为零，求x，这种方法中不是每个零值都是拐点，所以有必要测试x=0两边的值，以确保二阶导数的符号确实发生了变化。如果发生变化，x处的值就是一个拐点。

发表于 2020-09-18 05:32
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分类：科学教育

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