如何预测美国人口

此示例表明，使用中等程度的多项式通过推断数据来预测未来是一项冒险的业务。该示例比MATLAB®早。它始于1977年由Prentice-Hall出版的Forsythe，Malcolm和Moler撰写的“数学计算的计算机方法”中的一项练习。现在，MATLAB和HandleGraphics®使更改参数和查看结果变得更加容易，但是基本的数学原理没有改变。这是1900年至2000年的美国人口普查数据。

东西/原料

matlab软件
电脑

方式/步调

1
在号令窗口，输入如下:
% Time interval
t = (1900:10:2000)';
% Population
p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 ...
150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]';
% Plot
plot(t,p,'bo');
axis([1900 2020 0 400]);
title('Population of the U.S. 1900-2000');
ylabel('Millions');
按“Enter”键。
得如下图1所示。
2
您对2010年的生齿有何猜想？
输入如下号令：
p
按“Enter”键。
得如下图2所示。
3
让我们用t中的多项式拟合数据并将其外推到t =2010。多项式中的系数是经由过程求解包含11 x 11 Vandermonde矩阵的线性方程组而获得的，该矩阵的元素是标度时候的幂，A（i，j）= s（i）^（nj）;
程序如下：
n = length(t);
s = (t-1950)/50;
A = zeros(n);
A(:,end) = 1;
for j = n-1:-1:1
A(:,j) = s .* A(:,j+1);
end
拟合数据p的度为d的多项式的系数c是经由过程求解线性方程组而获得的，该线性方程组涉及Vandermonde矩阵的最后d + 1列： A（：，n-d：n）* c〜= p
4
若是d小于10，则方程式多于未知数，而且最小二乘法是合适的。若是d等于10，则方程可以切确求解，而且多项式现实上是对数据进行插值的。无论哪种环境，都可以利用MATLAB的反斜杠运算符来解决该系统。这是三次拟合的系数。
输入如下程序：
c = A(:,n-3:n)\p
按“Enter”键。
得如图3所示。
5
此刻，我们评估1900年至2010年之间每年的多项式并绘制成果。
程序如下：
v = (1900:2020)';
x = (v-1950)/50;
w = (2010-1950)/50;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z+15,num2str(z));
hold off
按“Enter”键。
如图4所示。
6
比力三次拟合和四次拟合。请注重，外推点很是分歧。
程序如下：
c = A(:,n-4:n)\p;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z-15,num2str(z));
hold off
按“Enter”键。
如图5所示。
7
跟着度数的增添，外推变得加倍不不变。
程序如下：
cla
plot(t,p,'bo')
hold on
axis([1900 2020 0 400])
colors = hsv(8);
labels = {'data'};
for d = 1:8
[Q,R] = qr(A(:,n-d:n));
R = R(1:d+1,:);
Q = Q(:,1:d+1);
c = R\(Q'*p); % Same as c = A(:,n-d:n)\p;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,11);
plot(v,y,'color',colors(d,:));
labels{end+1} = ['degree = ' int2str(d)];
end
legend(labels, 'Location', 'NorthWest')
hold off
按“Enter”键。
如图6所示。