小学数学到底应该学什么？

撮要：

1 小学数学科学的独一焦点课题是天然数。

2 一个孩子的识数过程需要在数年时候中走完人类识数的漫长道路，这毫不可能是一个简单轻易的使命。

3 扳着手指数数具有超越多对象处置本能的主要意义。

4 一个好的数学教育者应该知道，加法的原始意义是两个有限集的无交并的势。

5 一个好的数学教育者应该大白，天然数集就是知足皮亚诺正义的调集，并且应该理解天然数集的无限性，这是人对于无限的第一个科学熟悉。

6 数学教育应按数学成长史挨次进行，而不是按逻辑根本来进行。

撰文 | 姜树生

小学数学应该学什么？这原本不是个问题，但近年来小学数学课程转变半斤八两大，增添了良多内容且都是必修的，乃至“减负”完全当作了官腔；而小学数学原有的一些内容被弱化。在此布景下，“小学数学应该学什么”当作了良多人会商和争议的问题。

1 先打个预防针

关于这个问题，常见的定见很是多，预期本文也会受到良多辩驳。其实本文中的良多观点并非像数学那样严谨的科学事理，辩驳的定见可能更高超。但建议当真的读者带着批判的目光有选择地看，至少下面几种用不着看：

1）生搬教条的

在文献中有良多涉及数学教育的不雅点，如“数学是研究数目关系和空间形式的科学”，“数学是对客不雅现象抽象归纳综合而形当作的科学说话与东西”等等，这些不雅点固然不无事理但并不是严谨的科学定律。还有良多讲授方式如“摸索性进修”、“项目式进修”、“螺旋式上升”等等，也是不无事理但尚在测验考试。

但生搬教条者会把这些当当作“圣旨”，每条都比数学更准确。这些人都是“政治挂帅”的，要求数学教育从命这些理论的指导，为此可以把数学教程改得乌烟瘴气，但他们毫不会认错的。

建议您把“政治准确”留给他们，您只要数学准确就可以了。

2）采用无界说术语的

这些人环绕着一些没有界说的术语会商不休，这样的术语良多，如：

本质教育：对这个术语不仅没有社会共识，也没有权势巨子的诠释，甚至没有官方界说。

高分低能：例如说有的学生考分高但不会换灯胆，但测验没有换灯胆这一项，若是加上这一项若何呢？

应试教育：是否有测验的教育就是“应试教育”？这样的会商经常导致打消测验的本家儿张。

教育公允：我们只能说公平易近有平等的受教育的权力。但教育自己若何“公允”？有些人说这话的意思是“凭什么您能上海说神聊大清华我就不克不及？”

减负：学生承担过重需要减轻，但需要先厘清什么是过重。若是象商家先涨价再打折那样，先加重承担再减轻一些有意义吗？不是说笑话，这样的例子良多。例如先把上课时候提早半小时然后再改为晚半小时，或者打消给学生打分改为贴小红旗小红花等等。良多教科书就是在“减负”的名义下越改越厚的（参看 [6]）。

奥数：这个词来历于国际数学奥林匹克（IMO），但此刻绝大大都人所说的“奥数”与 IMO 毫无关系，只是打着这个灯号搞培训或竞赛等，精确地应该称为“伪奥数”。

数学有良多学科，即使在中学数学教程中也有代数、平面几何、三角、立体几何、解析几多么多个学科，但没有一个“奥数”学科。一个家长把孩子送入“奥数班”之前，至少应该看看“奥数”教程讲的是什么，有什么学术依据和尺度，有什么意义和用处。可惜大大都这样的家长很权要本家儿义。

对每个无界说术语，都是大家有大家的理解，各唱各的调，甚至当作了“界说之争”。是以以这类无界说术语为题的会商都是纯粹华侈时候。

3） “不假思考”的

这些人措辞良多很快但不走脑子，例如说“数学是死板的、深邃的、抽象的”，或者“数学是存在于天上的纯粹理型”，或者“数只是人脑子里的工具”等等。良多说法是吠形吠声。但若是深究，他们本身都不知道本身说的是什么意思。

4）妄议数学的

这些人对于数学的领会规模很窄也很肤浅，并且都是很早期的（最新也是二百多年前的），但他们张口杜口数学若何若何，这样就把他们所不懂的数学全数枪毙了。

5）居心抬杠的

例如您刚说一句“数学是科学”，他立马辩驳说“数学不是科学”，并且搬出不知哪里来的奇谈怪论作为论据。其实他也未必相信本身的说法，只是为了显示本身不同凡响罢了。但这样的抬杠轻易蹭热度、圈粉。

2 小学数学科学的独一焦点课题：天然数

此刻讲本文的本家儿要不雅点：小学数学，至少就数学科学而言，独一必设的课题是天然数。

然而在小学数学课程尺度（参看 [11]）中所设的课题有四个方面：“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”。我们此刻来逐个细看。

1） “代数”是中学数学课程的内容，固然近年来有些中学代数下放到小学，但不克不及是以就说它是小学数学。况且全国数学教育成长颇不服衡，良多处所还不克不及把代数下放到小学。

2）关于图形的科学，是从初中平面几何起头的。小学数学教程中对于图形的熟悉，根基上是科普性的，不服凡的本家儿如果面积、体积的计较，现实上是作为数的一类应用题而设。

3）统计与概率，即使在中学教程中也只是科普性的，并且此刻中学数学教程中的概率并不比小学教程更深。

4）小学数学中有良多应用题，这一方面是理解天然数的主要路子，另一方面也是学会应用天然数的需要步调。不外“综合与实践”说得迷糊其辞。

有一点值得注重：在汗青上的任何一个期间，小学数学课程都不是很“专”的，即总有一些数学科学以外的内容，包罗科普方面的内容、手艺（早年是珠算，此刻有计较器的利用等）、怀抱衡、律例（如科学记数法）等等。

那么，课程尺度所讲的四个方面，除了“代数”有点疑问外，也没有什么错啊？为什么单强调“天然数”呢？

请注重另一点：除了天然数外，其他的内容在分歧的汗青期间都是经常转变的，甚至未来有些会过时。但天然数是不会有转变更不会过时的。

另一方面，若是天然数没学好，其他内容学得再好，小学数学也不克不及达标。

大白了这些，就知道在小学数学讲授中永远应该重点存眷“天然数”，这也是小学数学最难的部门，讲授上需要花的功夫也最大。反过来说，永远不该该以其他方面的内容冲击天然数的讲授，或压缩天然数讲授的课时。

3 进修天然数的过程、方针和难点

然而，良多人感觉天然数没什么了不得，人人都识数。他们忘了本身昔时的识数过程有多艰难，更不大白良多人平生都没有完当作识数过程。

数学是汗青最悠长的科学，而天然数是科学最早研究的对象。固然考据很坚苦，但至少欧几里得时代的文献表白，在公元前 500 年人类已经完全熟悉天然数了。现实上人类熟悉天然数的过程可能稀有万年。而一个孩子的识数过程需要在数年时候中走完人类识数的漫长道路，这毫不可能是一个简单轻易的使命。

我们下面将小学生的识数过程做一个粗拙的分化，由此就可以看到其艰难性。

第一步：数（sh?）十以内的数

幼儿起首学扳着手指数数，这是最早的数学尝试。

良多人会说：“这算什么尝试呀？”此刻当然有很切确的科学尝试手段，但不该肤浅老的尝试，因为科学是由此成长起来的。一百年前的生化尝试，在今天看来很粗拙；今天通俗装修队配备的激光测距器，五十年前连尖端尝试室里也没有。而今天顶尖的尝试手段，未来也会被超越。我们下面将谈到良多小学数学尝试，都是普遍利用而且很有用的。良多人嫌它们简单粗拙，但此刻还很贫乏测验考试发现更好的尝试手段的人。

“必然要扳着手指数数吗？桌上有 3 个苹果，一眼就看出来了，哪用得着扳着手指数？”

是的，高档动物有同时处置多个视觉对象的能力，不仅 3 个，多至 5 个甚至 6 个对象都可能“一眼就看出来”。但 10 个就太多了，并且扳着手指数是有挨次的。

这里涉及“天然数是什么”这样一个根基问题。仅有“1”是不克不及当作为天然数的，至少还要有与 1 分歧的；仅有 1 和 2 也还不可，因为 1 和 2 可以代表少与多，低与高，甚至黑与白，有与无，对与错，更一般的矛盾，总之可以表达一个比特的信息。

就是说，有信息的宿世界就有 1 和 2。但 3 就分歧了，超越了一个比特的信息。所以老子说“道生一，平生二，二生三，三生万物”。对于前人和今天的幼儿，对 3 的理解是深且难的，起头时可能将 3 理解为“良多”。中国的当作语和谚语中有良多“三”是“良多”的意思，如“三人当作虎”、“三人行必有我师”等，这种现象在其他平易近族的说话中也常见。

如上所说，即使很伶俐的大脑，对跨越 6 个的对象也缺乏直接处置的能力，那么处置“7”就经常是坚苦的使命了。是以良多平易近族的说话中有涉及 7 的谚语和故事，此中的“7”是“良多”的意思。

由此可见，扳着手指数数具有超越多对象处置本能的主要意义。

但对于数（sh?）十以内的数，扳着手指数数只是要学的使命之一，至少还有两个别的的使命：理解这些数的物理意义和学会说话交流。

对于说话交流很大白：既要会数数，也要会说一、二、三、四等（在母语中）。当然还需要熟悉数字符号，但一般是在识字之后。

而对于理解数的物理意义这个使命，良多教育者缺乏足够的熟悉，甚至将其忽略。

具体说，要让孩子在数数时，知道所数的可能是桌上的苹果，也可能是面前的孩子，等等。就是要从“3 个苹果”、“3 个孩子”等等获得“3”的概念。这并不轻易，需要颠末频频进修才能达到。教育者对此需要有足够的耐烦。

一个有用的尝试方式是操纵“一一对应”，例如让 3 个孩子拿桌上的 3 个苹果，每人拿一个，就看到一一对应了。

这第一步若是有所欠缺，今后就需要补上，并且这样的欠缺可能导致质量差或效率低，不如先把第一步完全做好。

第二步：一百以内的数的熟悉

在这一步，扳手指尝试显然已经不敷了，需要一些尝试东西（如小棒）。以往这被称为“游戏”，但此刻良多人已经熟悉到这就是数学尝试，尽管仍很粗拙。

“按挨次数”的习惯，在这一阶段要进一步增强。但这还不敷，要理解这些较大的数的物理意义，需要初步进修加法。

桌上有两堆苹果，一堆有 5 个另一堆有 8 个，此刻把两堆归并，一共有几多个？这就是加法问题。一个好的数学教育者应该知道，加法的原始意义是两个有限集的无交并的势（参看 [4]）。

有了加法的初步概念，对于较大的数如 58，就可以用分为 10 个一堆的 5 堆及 8 个的1堆。这样也初步熟悉了十进制。

在这个阶段还可以进修比力几多，这也是对于挨次的更深刻理解。

一般说来，对于数字符号的熟悉也在这一步。

第三步：一百以上的数的熟悉

在这一步，进修十进制是必不成少的，而为此需要熟悉数字符号。

加法和巨细比力都需要深切，并且需要由巨细比力指导到减法。进修加法和减法都需要学竖式笔算。别的还要进修利用计较东西。早年利用的算盘，对于理解十进制和加减法都很有用，此刻即使不消，也需要有替代的教具。仅学会用计较器是不敷的。

在这一步，理解数的物理意义，越来越多地依靠应用题。

乘法也是在这个阶段引进，有了乘法，就轻易理解较大的数。进修乘法更要学竖式笔算，并且要背九九表。

关于背九九表，近年来有良多争议，例如说美国小学生是不背九九表的，还有效计较器也不需要背九九表。但背九九表可以对于数和乘法有更好的熟悉，有利于把握计较器等东西。

另一方面，只有在充实理解数和乘法的前提下，背九九表才稀有学教育意义。有的家长在孩子很小尚未理解数的物理意义时，就让孩子背九九表（为了加入角逐或者显示伶俐），其实和背“人之初性本善”一样，只会背而不解其意。这样的教育很可能危险孩子进修数学的前途（参看 [3]）。

第四步：熟悉整个天然数

只有熟悉了整个天然数集，才能说是熟悉天然数了。

华罗庚师长教师曾经这样活泼地描述小孩子识数的过程（见 [2]）：

“小孩子识数，先学会数 1 个，2 个，3 个；过些时辰，可以或许数到 10 了；又过些时辰，会数到20，30，...，100 了，但后来，却决不是这样一段一段地增加，而是飞跃进步。到了某一个时辰，他贯通了，他会说：‘我什么数城市数了。’这一飞跃，竟从有限跃到了无限！”

只有颠末了这个飞跃，才真正能说是识数了。

但这个“大彻大悟”的过程，是只能由孩子本身完当作的。对于这个过程，华罗庚师长教师诠释说：

如何会的？起首，他知道从头数；其次，它知道一个一个按次序地数，并且不愁数了一个今后，下一个不会数。也就是他贯通了下一个数的表达体例，可以由上一个数来决议，于是，他也就会数任何一个数了。

教育者则只能指导，如上面所说，讲了一百以内的数再讲一千以内的数、一万以内的数、一亿以内的数，等等，慢慢扩展孩子的常识和想象力，直到孩子完当作这个“飞跃”。在完当作之前，教育者需要有足够的耐烦。

华罗庚师长教师所说的“从头数”、“一个一个按次序地数”、“不愁数了一个今后下一个不会数”，在数学中可以严谨地表达为“皮亚诺正义”。一个好的数学教育者应该大白，天然数集就是知足皮亚诺正义的调集（参看 [4]），并且应该理解天然数集的无限性，这是人对于无限的第一个科学熟悉。

第五步：对天然数的熟悉的加深

天然数长短常深邃的，即使数学家也还有良多不大白之处（精确地说，我们不知道的远比知道的多）。仅仅会数数，即使对于小学生熟悉天然数也是很不敷的。是以，在上述识数的过程中和识数今后，还要有更深切的进修。

具体说，至少要进修这几个方面：

1）带余除法，这方面可参看[10]。2）质数（即素数）及质因数分化，这是数论的初步概念，学生由此可以看到天然数的复杂性和研究的难点。3）数的扩展，包罗分数、小数等。

今天仍是在中学数学中才讲到的负数，其实有可能下放到小学。这方面的内容并不难，以往不克不及在小学讲本家儿如果因为心理上难以接管（在古代甚至良多数学家也拒绝接管负数），但今天负数在糊口中已很常见，如温度、海拔、科学记数法（负指数）、记账将支出记为负的收入、角逐将掉分记为负的得分，等等。是以心理障碍应该小多了。

可能有人会问：既然数的规模扩展了，为什么还说天然数最主要呢？分数或有理数的规模更浩劫道不更主要吗？

这里有个哲理性的问题：更大的规模是否就更主要？天然数可以或许扩充为有理数，是由其内涵的身分决议的（没有天然数的内涵原因，即使人工地机关出负数和分数也不克不及知足运算法例，参看 [4]）。通俗地说，分数的性质都能由天然数的性质导出，但反之否则，例如对于一个整系数方程，即使能给出有理数解也未必能由此鉴定是否有整数解。在数论中对此的不雅点是“局部与整体的关系”，即有理数是对于整数的“局部化”，整体决议局部但局部未必能决议整体。

4）数的运算法例和巨细关系（包罗分数的巨细比力）。

这几个方面各有难点，仍需要教育者的耐烦。此外，需要应用题更多并且更深。

由上述几个必由步调，足以看到进修天然数是半斤八两不简单并且漫长的过程，并且经常需要教育者帮忙孩子降服难点。一个常见的问题是良多家长对此颇不耐心。

4 小学数学本质的达标要求

小平邦彦认为，在小学经由过程数的计较的频频操练来培育学生数学的根基学力是最根基的（参看 [1]）。笔者认为这很有事理。

为什么要频频操练呢？因为孩子一起头总要犯错，只有频频操练才能使错误逐渐削减。

那么少犯错甚至不犯错就是最终方针吗？否则的。孩子不是进修机。在频频的犯错-纠错过程中，孩子会逐渐悟到一些深刻的事理，这对于孩子当作才很是主要。

一是大白数学（起首是天然数）的绝对真理性。在犯了良多错被改正的过程中，孩子逐渐熟悉到，像 2+3=6 这样的错误，永远是本身的错而不是数学的错。由此成立对于数学的信念。

二是对于科学（起首是数学）的敬畏之心。犯了错误要勇于认可和更正，而不是抵赖。无论本身多伶俐，也不该该对数学耍“小伶俐”，例如用狡辩否定 1+1=2。若是和数学匹敌，更是必死无疑。

三是慢慢树立严谨的科学立场。一丝不苟，不断改进，是科学手艺工作所必需具备的根基本质。这种本质必需从小培育，不然未来就当作了废人。而天然数的进修是培育严谨科学立场的一个根基路子。

那么，如何才叫小学数学本质达标了呢？

如前面所说，除了天然数外还有良多其他常识要学，当然这些都是达标所必需的。但最焦点的一点，是上面所说的“靠得住性”。最低限度，若是本身的错误被别人指出，可以或许立即大白并自行更正。若是本身也能发现和确认别人的错误，那程度就高了一个档次。最高的是能严酷审阅本身的工作，找出所有的错误并更正，从而包管本身的工作有高度的靠得住性。这样的孩子才是未来社会出格需要也出格有成长前途的。

这里似乎与良多人的不雅点相悖：社会成长靠立异呀！没错，但立异需要先打好根本。对于小学生，起首需要学会把最根基的工作做对做好。没打好根本就“立异”，是“先天不足”。前面所说的“摸索性进修”、“项目式进修”等，并非没有事理，但在没有打好根本之前就搞这类立异性的进修，例如让孩子本身“摸索勾股定理”，就如大跃进“放卫星”，其实都是造假忽悠，成果将是害了孩子。

可以或许立异的小学生不是没有，可是少少。不该把适合少少数孩子的教育方式用于大大都孩子。

5 超越天然数

此刻来会商前面所说的“中学数学下放到小学”。如前面所说，这并非对所有小学生都合适。可是小学数学若何与中学数学跟尾，是一个对于一般的小学教育都值得研究的课题。

早年中学生的第一个数学坚苦是“用字母暗示数”，那时良多中学生刚起头学甚至还没学英语，这方面的坚苦是文科性的。此刻良多孩子小学就学英语，文科的坚苦小多了。但数学上的坚苦依旧，就是说对于用字母表达的数学的理解是一个坎。

我们来具体阐发一下初中生起首接触的用字母表达的数学。最根基的有两个方面：恒等式与方程。恒等式如a+b=b+a；方程如 3x+4=10。因为它们都还可以用“数”来诠释，良多人没有理解它们都已超出了“数”的规模。前者可以用说话论述为“两个数相加，互换加数的次序，和不变”；后者可以用说话论述为“有一个数，它的 3 倍加 4 等于 10”。然而在逻辑上，它们都比数的运算升了一级。

具体说，恒等式 a+b=b+a 的完整论述是“对肆意两个数 a,b 都有a+b=b+a”；而方程 3x+4=10 的完整论述是“有一个数 x 使得 3x+4=10”。这里关头是有了谓词“肆意”（即“一切”）或“有”（即“存在”）。我们知道谓词演算是比命题演算高一级的逻辑运算。

不睬解谓词，现实上并没有真正大白恒等式与方程。这是初中代数的理解坚苦的根基原因。

但对于进一步进修数学，这一步是必需迈出的。初中平面几何中的命题经常都有两个谓词，如“过两点有一条直线”，完整的论述是“对平面中的肆意两个点A,B,存在一条直线 ? 使得 A,B 都在 ? 上”。在微积分中的命题经常有三个谓词，如数列极限

的完整论述是“对肆意正实数ε，存在一个正整数N，使得对肆意整数 n＞N 有

?”。在更深是数学如实变函数论或概率论中，还可以看到有四个甚至五个谓词的命题。由此可见，若是连只含一个谓词的语句都不睬解，是无法进修更深的数学的。

为了让孩子们迈过这个坎，仍需要教育者有足够的耐烦。

上面所说的从小学数学到中学数学的过渡，需要在小学期间就做筹办，本家儿要就是对于恒等式和方程的筹办。由上所述可见，这现实上已经超越了进修天然数的规模。

在这方面有良多讲授经验值得阐发和总结。下面讲一些具体方式。

对于简单的恒等式，可以先不消字母表述。例如上面的加法互换律，若是学生完全大白了，再理解 a+b=b+a 就只是从文字表述到用公式表述的转换。

对于方程，则可以先多做应用题，例如买一样工具已知单价 3 元付了 10 元找回 4 元，问买了几件。

小学里的应用题有些较复杂也较难，并且有一些常见题型，如行程问题、工程问题等。良多应用题可以转化为方程。这里举人们经常会商且争议颇多的“鸡兔同笼”为例。

鸡兔同笼原本是我国古代用于熬炼学生解题能力的问题，例如“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这里不问可知每只鸡有两条腿而每只兔有四条腿。

汗青上（甚至直到今天）这个习题一向不竭地受到进犯、贬低和奚落，罪名如“牵强附会”，“理论离开现实”，“为什么要把鸡和兔子关在统一个笼子里”等等。在文化大革射中甚至被说当作是反革命的（参看例如片子《标的目的阳院的故事》）。其实农人把鸡和兔装到统一个笼子中拿到市场上去卖，是很泛泛的事（见照片）。

鸡兔同笼题对于一般的小学生是很难的，能本身做出的孩子都很伶俐。如对于上面的标题问题，有的孩子说：“若是把鸡的同党也看成腿，那么无论鸡兔都有 4 条腿，总共就会有 4×35=140 条腿，但题设只有 94 条腿，那么多出来的140-94=46 条腿应该都是同党，这样就知道共有 46÷2=23 只鸡，从而兔有 35-23=12 只。”

那么大大都孩子做不出来又如何呢？无非是下列几种景象：有的孩子做不出但很想知道谜底，就从此外路子追求谜底；有的孩子做不出就抛却了，甚至今后就忘了；有的孩子由此感觉数学很有奇妙，虽做不出但提高了对于数学的乐趣。无论哪种景象都不是坏事。

那么，教育者是否需要给不会做的孩子讲做法呢？这是愚蠢的，因为此题的一般解法对于数学教育并无意义。

即使在中国古代的数学著作（如《九章算术》）中也有良多可以转化为方程的问题。例如对上面的鸡兔同笼题，设鸡有 x 只，兔有 y 只，则题设可以用方程表达为