为了玩好音乐徒手开12次方根，古人的音律、数学强到什么地步？

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1990年，黄霑受邀为徐克的片子《笑傲江湖》谱曲，前前后后写了6稿徐克都不对劲。“走投无路”的黄霑从古乐中获得灵感，用中国传统五声音阶宫、商、角、徵（zhǐ）、羽写出《沧海一声笑》的根本旋律。

徐克一听击节称赏，一首经典“神曲”就此被传布开来。然而中国古音的汗青与当作就可不止“宫商角徵羽”这么简单，细算起来，就算是影响了整个西方古典音乐史的巴赫也曾深受中国传统乐律的开导。

●《笑傲江湖》经典片段

乐律，是数学与艺术慎密连系的产品。不管是古代乐律的五声音阶，仍是现代通用的十二平均律，无一不是颠末详尽数学计较的产品。而中国在乐律成长史上的步步领先，也表现了我们平易近族在数理上的过人之处。

中国古代乐律的发源，要追溯到一位人尽皆知的汗青人物——春秋期间的管仲。

●被誉为“华夏第一相”的管仲

古籍《管子·地员篇》中记录了宿世界音乐史上最早的一种求律方式，史称“三分损益法”。原文是这样写的：

凡将起五音凡首，先本家儿一而三之，四开以合九九，所以黄钟小素之首，以在宫；三分而益之以一，以百有八，为徵；不无有三分而去其乘，适足所以生商；有三分而复于其所，所以当作羽；有三分而去其乘，所以当作角。

翻译过来的大意就是：想要求出五音，起首应该找出一个尺度音，即“黄钟”，也就是“宫”音。这个音被“三分四开以合九九”，那可以假定其对应的弦长比数为81。

接着将宫音的长度增添三分之一，算出低四度的“徵”音，那么“徵”就是81+81/3=108；再将徵音的长度减去三分之一，可得出徵的高五度音“商”，为108/3*2=72；把商音的长度增添三分之一，可得它的低四度音“羽”，为72+72/3=96；最后把羽音减去三分之一，可得弦长比数为64的“角”音。

● 由三分损益法得出的五音

这种五声音阶法在中国古代音乐中被称为“正声”，是古今中国平易近间音乐最为常见的音阶形式。事实上，由此推算出来的“宫商角徵羽”对应现代乐律就是“do、re、mi、sol、la”。

大师会发现“fa”跟“si”这两个现代乐律不见了，但其实按照管仲的“三分损益法”，完全可以继续计较细分下去。加上“fa、si”的七声音阶甚至是十二律都可以用这个方式往下演算出来。

而本家儿要的问题在于，这个公式算出来的五声音阶尽管悦耳悦耳，可是相邻音阶之间的频率之比倒是不固定的。按照上面宫商角徵羽的数值比例计较，大部门音阶之比是1.125，而中心总会有一个比是1.185轮回……

所以“三分损益法”可以求出“十二律”，在《吕氏春秋·乐律》篇中也确实记录了从“黄钟”、“大吕”到“无射”、“应钟”的完整十二律，但这倒是不服均的十二律。

●《吕氏春秋·乐律》中记录的古音十二律

这种十二律会呈现“仲吕极不生”、“黄钟不克不及还原”的现象，表露出十二律不克不及回归本律及无法旋宫转调的问题。是的，早在上千年前，我们的前人就已经不知足于一个调子到底的音乐。

想要转调，就必需解决十二律不服均的数学难题。

我们把目光转到西方，西方音乐在我们的印象中似乎十分发财。贝多芬、莫扎特、巴赫……无数音乐伟人组成了一个复杂的西方古典音乐系统，那么他们是若何解决这个难题的呢？

●巴赫肖像

他们有抄我们明朝人功课的极大嫌疑……

事实上，西方音乐宿世界因为前期成长较慢，直到管仲归天近150年后才碰到这个难题。由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯提出的乐律“五度相生法”与管仲的“三分损益法”有着惊人的相似度。

而五度相生法缔造出来的西方五声音阶，面对着与中国古代乐律一样的“不服均”问题。在中国，先后有汉代京房六十律、五代刘燀十二等差律、宋代蔡元定三分损益十八律等等测验考试呈现，南海说神聊朝期间甚至呈现过三百六十律这种“大数据”。

然而这些乐律要不就仍是不克不及当作等比例，要不就是强行等比而忽略了乐律的悦耳韵律。直到公元1587年明代朱载堉“新法密率”的问宿世，才完美解决了这个猜疑了工具方音乐家、数学家近两千年的汗青难题。

简单来讲，朱载堉就是将一个八度等分当作了十二份来求这“十二平均律”。那么从第一份到第十二份，则必需是两倍（一个八度）的关系。假定第一个乐律为X，那么它必需被某个固定命值乘12次之后酿成最终的2X。

●朱载堉著《乐律全书》

这个固定命值以此刻的数学说话看来是12次根号2，对于现代人来说，不外是按几下计较机的问题。但在明朝的朱载堉手中，就是“徒手开十二次根号”的数学难题。

为此，朱载堉特制了一个多达81位的巨型算盘，靠人力硬生生把它给解出来了。解出来后，朱载堉不仅建造出了宿世界上第一架定音乐器，还将本身的研究当作果呈进朝廷。

●朱载堉令人头秃的计较成果

55年后，法国的数学家马林·默森（Marin Mersenne）也在本身的著作中写出了与朱载堉一模一样的等程律数学表达式。作曲家巴赫平生极推崇平均律的作曲运用，直接影响了后宿世无数音乐家。

而在那个布道士频仍往来于中西方的年间，各类手艺是其通信的本家儿要内容。是否是朱载堉在中国不受正视的十二平均律经由布道士之手达到西方宿世界，我们已经不得而知。

经由一代代数学家与音乐家的接力共同，才有现代林林总总乐律模式开花齐放的场合排场。而十二平均律始终占有本家儿流的凸起地位，更表现了人类对于韵律艺术与均衡纪律这种奥妙连系的偏心之情。

至于数理与乐律这两对让人难以捉摸的双生子，我们还远未穷尽对它们的摸索。

参考文献：

Bilibili视频网：李永乐教员讲乐律

山东师范大学《论管子三分损益法》文/罗天全

协商论坛《朱载堉：“平民王子”的科研、乐律路》文/ 赵慎珠

福建师范大学文学院《河图洛书：朱载堉十二平均律的理论原点》文/黄黎星

内容为『手望Sowarm』出品

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