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图片：geralt / CC0

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进修数学范畴的一门科目标根本常识，无外乎两个目标，一个是在测验中取得好成就，一个是在理解这些常识中，能在本身的研究顶用到它。前一个目标良多回覆已经归纳综合的很好，这里不再赘述，所以呢，就连系本身从上课到学做研究的一些体味来办事于第二个目标读者。

一门学科入门，有两种方式，一种是从抽象到具体，一种是从具体到抽象。一起头就是一个很严密的抽象的界说，以及随之而来的一系列公式，对新手其实并不是很友爱，并且也并不克不及帮忙初学者细心的思虑这些公式和界说所蕴含的人类聪明。所以，我们就先从一些具体的案例出发，看看为啥线性代数里有那么多如“线性相关”似乎很无聊的概念以及环绕这些概念而来的理论吧。我们考虑三个比力根本的案例：线性方程组的求解；线段扭转与线性变换；以及高维数据降维与聚类。前两个是很经典的问题，最后一个是跟着统计学出格是大数据时代到来变得在分歧学科遍及呈现的问题。让我们起头吧。

1.案例 1：线性方程组的求解

从小学起头，我们就起头进修若何求解下面的方程组（这个方程组里，

$x_1,x_2,\dots,x_n$

是未知数，其他为已知数，m 纷歧心猿意马等于 n）：

$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n & = b_m \\ \end{aligned} \right. (1)$

方程组（1）简练而又主要，因为很多理论以及简单的模子最后都可以归结为方程组（1）的求解。小学和初中进修的是加减消元法，高中后，算立体几何题，求法标的目的量的时辰，会用到行列式来求解这个方程组。上大学前，我们对于线性代数最根基的问题，线性方程组的求解，并不是很目生。

不外，在读者眉飞色舞的吭哧吭哧的求解方程组（1）的时辰，或许想过，以及在具体的算例中碰着过如下问题：

方程组（1）与方程 $ax=b$
若何对行列式做到 n 个变量的推广呢？与此相伴的问题时，行列式的事实该若何界说呢？
方程组（1）什么时辰有解，什么时辰没有解，什么时辰诠释独一的，什么时辰解是不惟一的呢？

这三个问题，恰是一本尺度的线性代数教材里的前几章的常识所致力于回覆的问题。解决思绪就是引入标的目的量空间，以及矩阵，那么（1）式可以形式上的写作：

$Ax=b \space (2)$

我们只要研究系数矩阵

$A$

以及增广矩阵

$A ^\prime =(A,b)$

就好了。怎么研究呢，那些絮絮不休的线性相关的理论就是为此办事的。

若是我们考虑我们熟悉的实数域的环境，当系数矩阵是方阵时，我们将行列式视作空间

$\mathbb{R}^{n\times n}$

到数域

$\mathbb{R}$

的映射，即：

$\det: \mathbb{R}^{n\times n}\rightarrow \mathbb{R}$

若是我们按照一阶行列式，二阶行列式的公式，递归的界说行列式

$\det(A)=\sum_{v}(-1)^{v+1}a_{v1}\det A_{v+1} \space (3)$

可以证实(3)是独一知足如下前提的映射：

1）将单元矩阵

$I$

映射为 1

$\det\begin{bmatrix} \vdots \\ cA_i+c^{\prime}B_i \\ \vdots \end{bmatrix}=c\det\begin{bmatrix} \vdots \\ A_i \\ \vdots \end{bmatrix}+c^{\prime}\det\begin{bmatrix} \vdots \\ B_i \\ \vdots \end{bmatrix}$

此中省略号的行标的目的量都是一样的；

3) 若是矩阵

$A$

相邻的行标的目的量不异，那么

$\det(A)=0$

用行列式，线性相关，基，秩这些概念，我们便可以成立起关于方程

$Ax=b$

的有解的判别前提，以及解的布局的心猿意马理，这些尺度的教材里都有，就不再赘述了。值得注重的是，若是我们将这套理论，移植到可微函数构成的线性微分方程组，我们也可以机关近似的命题，这申明我们可以将矩阵和标的目的量做更为一般的推广。

2. 案例 2，线段扭转与线性变换

若是读者用过 PS 或者 PPT 的时辰，会发现里面的那些外形其实都是用坐标描述的，于是我们便可以将其视作

$\mathbb{R}^2$

的一个子空间。考虑一个简单的问题，我们需要对 PS 里位于坐标原点的一段线段逆时针扭转必然的角度，PS 是若何实现这个功能的呢？很简单，我们只需要对这段线段对应的标的目的量进行坐标变换就好了。若是进行变换呢？若是我们将方程（2）视作将标的目的量 x 变换为标的目的量 b，那么我们可以把矩阵 A“视作”一个变换。那么我们只要用一个二阶矩阵来暗示扭转变换就好了，这个二阶矩阵，可所以

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$

扭转变换是更为称为线性变换的具体案例，并且不改变线段的长度（连结距离）。此外，我们可以想象，若是一个标的目的量的偏向与扭转的偏向一致，那么扭转变换是不会改变其偏向的（这个标的目的量就是所谓特征标的目的量）。

尺度的线性代数教材的后半部门，很大水平上是对这个线段扭转问题的扩展。矩阵的特征值，对角化，以及二次型的理论就是上面这个线段扭转问题的进一步研究。此外，二次型的相关理论还可以帮忙我们回覆二次曲线和曲面分类的问题。具体可见任何一本尺度的线性代数教材，例如丘维声的书，这里不再赘述。

3. 案例 3：高维数据降维与聚类

这个案例和笔者的专业很是相关了。素质上来说是数理统计与线性代数的交叉。

当前生物研究中有一个很是前沿的手艺，叫做单细胞转录组测序。例如我们可以从人身上抽外周血，进行单细胞测序，这些测序数据在颠末一系列的处置之后，最终会获得一个称之为表达矩阵的对象，此中每一行对应一个基因，每一列对应一个细胞，所以这个数据真的是一个矩阵。若是读者看过《工作细胞》的话，或许知道外周血里有很多分歧类型的细胞，好比 T 细胞，B 细胞，这些细胞之所所以分歧的，真的是因为他们形态和功能特异。那么我们会问，可否从这么多细胞的表达谱将分歧的细胞类型找出来呢。当然是可以的。

假如我们测了 2700 个单细胞，人的参考基因组注释出了 30000 个基因的话，那么我们的表达矩阵应该是

$30000\times2700$

的十分稀少的矩阵。我们但愿能在二维的坐标图中，尽可能的展示出细胞类型的信息，而且能区分出分歧的细胞类型。转化为两个子问题，那就是，高维矩阵降维，以及高维数据聚类的问题。这中心有很多巧妙的算法。在实践中，高维矩阵降维我们常用的是 PCA，t-SNE，UMAP 等算法，而聚类的话，我们会用条理聚类以及 Louvain Algorithm 之类的图聚类算法，对每个细胞对应的高维标的目的量进行聚类；

我们可以看看具体的步调，这是 PCA 的成果，我们看到，细胞似乎能分为 4 个分歧的大类；