巧用极坐标变换求二元函数的极限

对于一些复杂的二元函数，我们没法通过邻域变形式来巧妙的处理极限问题，这里给大家介绍用极坐标变换的方法来化解这种尴尬，除此以外还会有其他的方法，这里的极坐标变换的法子很适合求趋于原点时的极限，以下会给大家举一个例子，希望对你有所帮助。

操作方法

01
题干给出的函数是分情况的，原点处的表达式为常数0，非原点处的函数表达式很复杂，如图，要求我们验证原点处的极限是否为0？
02
这里就运用了极坐标变换的方法了，可能大家在高中数学选修中已经接触到了极坐标的相关知识，这里令x，y分别为rcosθ，rsinθ。
03
这里的参数r的几何意义就是改点到极点的距离，θ表示改点与极轴的夹角，那么原函数趋于（0，0）的条件在极坐标下就变为r→0了，正好这里的r也满足圆形邻域的表达式。
04
用极坐标变化表示出原函数的关系式，中间能约分的约分，能合并的合并，需要用到三角函数的知识，最终化简如下。
05
很显然sin函数是恒≦1的，那么就可以放缩到如下步骤
06
最后根据二元函数极限的定义，来确定δ的取值，那么函数趋于原点的极限就是0了。
07
【总结】
一般遇到比较复杂，又是求点(0，0)的极限可以采用极坐标变换的方法来简化问题，这道题目就很好的运用了。
End