什么是陪护(Coset)？

陪集是数学群的一种特殊类型的子集，例如，可以考虑7，{…-14，-7，0，7，14…}的所有整数倍的集合，它可以表示为7Z。每个数加上3就生成了集合{…-11，-4，3，10，17…}，数学家称之为7Z 3。后一个集合称为由3生成的7Z陪集14等于-14，以此类推。...
陪集是数学群的一种特殊类型的子集，例如，可以考虑7，{…-14，-7，0，7，14…}的所有整数倍的集合，它可以表示为7Z。每个数加上3就生成了集合{…-11，-4，3，10，17…}，数学家称之为7Z 3。后一个集合称为由3生成的7Z陪集14等于-14，以此类推。还有，把7的倍数加上另一个7的倍数，就得到了7的倍数。数学家对此的描述是，在加法运算下，7的倍数是“闭合的”。这两个特征就是为什么7Z被称为加法下整数的子群。只有子群有陪集。所有立方数的集合，{…-27，-8，-1，0，1，8，27…}，与7Z没有相同的陪集，因为它在加法下不闭合：18=9，9不是立方数。同样，所有正偶数的集合，{2，4，6，…}，不具有陪集，因为它不包含反义词。这些规定的原因是每个数都应该正好在一个陪集中。在{2，4，6，…}的情况下，6在由4生成的陪集中，在由2生成的陪集中，但是这两个陪集是不完全相同的，这两个条件足以保证每个元素都在一个陪集中。陪集存在于任何一个群中，而且有些群比整数复杂得多。一个有用的群是在不改变正方形覆盖区域的情况下移动一个正方形的所有方法的集合旋转90度，形状没有明显变化同样地，它可以垂直、水平或通过对角线翻转，而不改变正方形所覆盖的区域。数学家称之为D4。D4有八个元素。如果两个元素将所有的角放在同一个位置，则认为两个元素是相同的，所以顺时针旋转四次就等于什么都不做，记住了，这八个元素可以表示为e，r，r2，r3，v，h，dd，和dd，“e”表示什么都不做，“r2”表示做两次旋转。最后四个元素中的每一个都表示翻转正方形：垂直、水平或沿着其向上或向下倾斜的对角线。整数是一个交换群，这意味着它的运算满足交换定律：32=23。D4不是交换的。旋转一个正方形然后水平翻转它不会像翻转它然后旋转它那样移动角点。在非交换组中工作时，数学家通常用一个*来描述这个操作。一点工作表明，旋转正方形然后水平翻转它，r*h与将其向下对角线翻转是一样的。因此，r*h=dd。翻转正方形然后旋转它就相当于在它的上对角线上翻转它，因此，在D4中顺序很重要，因此在描述陪集时必须更加精确。当处理整数时，短语“由3生成的7Z的陪集”是明确的，因为在7的每个倍数的左边或右边加上3并不重要。但是对于D4的子群来说，不同的阶会产生不同的陪集，根据前面的计算，r*H，r-等于{r，dd}，而H*r等于（r，du}。比较右陪集和左陪集时，不适用两个不同陪集中没有元素的要求H的右陪集与其左陪集不匹配，并不是D4的所有子群都有这个性质，可以考虑正方形所有旋转的子群R，R={e，R，r2，稍加计算，它的左陪集与右陪集是相同的。这样的子群称为正规子群。正规子群在抽象代数中非常重要，因为它们总是编码额外的信息。例如，R的两个可能的陪集就等于平方的两个可能的情况“被翻转”和“广场还没有被翻转”
  • 发表于 2020-09-07 23:01
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  • 分类：科学教育

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