凝望星空，宇宙是什么形状？

在我们的心中，宇宙似乎永远存在。但操纵几何，我们可以摸索各类三维外形。正如弯曲的球面是平面地球的替代品，这些三维外形也供给了“通俗”的无限空间的替代品。

撰文|ERICA KLARREICH

译者|我叫熊猫大侠

当您凝望夜空时，空间似乎朝着四面八方无限延长。这是我们对宇宙的心智模子，但它纷歧定是准确的。究竟结果，有一段时候，每小我都认为地球是平的，因为我们地球的曲率太微妙以至于无法探测到，球形的地球是不成思议的。

现在，我们都知道地球的外形是一个球。可是我们大大都人很少思考宇宙的外形。正如弯曲的球面是平面地球的替代品，其他三维外形也供给了“通俗”无限空间的替代品。

关于宇宙的外形，我们可以提出两个分歧但又彼此联系关系的问题。一个是关于它的几何：例如角度和面积等精巧的局部测量。另一个是关于它的拓扑：这些局部部件是若何缝合在一路拼当作一个整体外形的。

宇宙学证据表白，我们能看到的那部门宇宙至少可以近似地认为是滑腻而平均的。空间的局部机关在每个点和每个偏向上都是一样的。只有三种几何合适这种描述：平展几何、球面几何和双曲几何。让我们来摸索这些几何，还有一些拓扑考量，以及宇宙学证据表白哪个外形最能描述我们的宇宙。

平展几何

这是我们在中小学学的几何。三角形的内角和为180度，圆的面积为πr2。最简单的平展的三维图形的例子是通俗的无限空间——数学家们称为欧几里得空间——但也有其他的平展外形需要考虑。

这些外形很难想象，可是我们可以经由过程二维来成立一些直觉。除了通俗的欧几里得平面外，我们还可以经由过程剪切平面的某些部门并将其边缘粘在一路来缔造其他平展外形。例如，假设我们剪下一张长方形纸，把它的对边粘起来：把顶边和底边贴起来，我们获得一个圆柱体：

接着可以把摆布双方粘起来，获得一个“甜甜圈”(数学家们称之为环面)：

此刻，您可能会想，“在我看来这并不服坦”。您说的有点事理。我们在描述平展环面时做了一点四肢举动。若是您真的想用这种方式用一张纸上做出一个环面，您会碰到坚苦。建造圆柱很轻易，可是把圆柱的两头粘起来是做不到的：环面内圈的纸会变皱，而外圈的纸不成能被拉得足够长。您得用一些有弹性的材料来取代纸。可是这种拉伸扭曲了长度和角度，改变了几何特征。

在通俗的三维空间中，没有法子在不扭曲平展几何特征的环境下，用平面材料构建一个真实的、滑腻的物理环面模子。但我们可以想象出糊口在平展环面上的感受。

想象您是一个二维生物，它糊口的宇宙是一个平展环面。因为这个宇宙的几何来自于一张平展的纸，所有几何事实都和泛泛一样，至少在小规模内是这样的：三角形的内角和是180度，等等。但我们经由过程切割和粘贴使得拓扑布局发生了改变，这意味着糊口在环面上的体验将与我们曩昔习惯的感受大不不异。

第一点：环面上有一些直线路径可以绕一圈回到它们起头的处所：

这些路径在环面上看起来是弯曲的，可是对于平展环面上的居平易近来说，他们感觉它们是直的。因为光是沿着直线传布的，若是您沿着某个偏向标的目的前看，您会看到您本身的后背：

在最初的那张纸上，您看到的光仿佛是从您死后来的，直到它照到左边，然后又呈现在右边，就仿佛您在玩一个穿越式的电子游戏：

一个等价的思虑方式是，若是您(或一束光)穿过四个边的某一个，您会呈现在一个新的“房间”里，但现实上它们是统一个房间，只有了一个新视角。当您在这个宇宙中安步时，您可以穿越到无数个您本来房间的复制房间里。

这意味着您也可以从分歧的偏向看到无限多个分歧的本身。这近似于您看大厅镜子里的本身，只是这里您的复成品不是反射：

在甜甜圈上，它们对应着很多分歧的回路，经由过程这些回路，光可以从您死后照回到您身上：

近似地，我们可以经由过程粘住立方体或其他盒子的相对面来构建一个平展的三维环面。我们不克不及把这个空间想象当作通俗无限空间中的一个物体——它底子就不在此中——但我们可以抽象地想象此中的生物。

就像二维环面中的生物糊口在一个由无数个不异的矩形房间构成的二维方阵一样，三维环面中的生物就像糊口在一个由无数个不异的立方体房间构成的三维方阵中。您会看到无数个您本身的复成品：

三维环面只是10个分歧的有限平展宿世界中的一个。也有无限的平展宿世界，如无限圆柱的三维近似物。在每个宿世界里，都有分歧的大厅镜子的阵列供您体验。

我们的宇宙是其他这些平展外形中的一种吗？

当我们标的目的太空望去，我们看不到无数个我们本身的复成品。尽管如斯，要解除这些平展外形仍是半斤八两坚苦的。起首，它们都具有与欧几里得空间不异的局部几何性质，是以任何局部测量都无法区分它们。

若是您确实看到了本身的复成品，那么那个遥远的图像就会显示出您(或者您地点的星系)在遥远曩昔的样子，因为光线要颠末很长时候才能达到您那边。也许我们看到的是我们本身无法识别的复成品。更糟糕的是，您的分歧的复成品凡是和您有分歧的距离，所以他们中的大大都看起来都纷歧样。也许它们离我们太远了，我们底子看不见。

为了降服这些坚苦，天文学家们凡是不是寻找我们自身的复成品，而是寻找我们所能看到的最遥远事物的反复特征：大爆炸后不久遗留下来的宇宙微波布景辐射(CMB)。在实践中，这意味着在CMB中寻找具有匹配模式的热点和冷点的圆对，这表白它们现实上是从两个分歧的偏向看到的统一个圆。

宇宙微波布景辐射。| 图片来历：NASA/WMAP(2010)

2015年，天文学家操纵普朗克太空千里镜获得的数据进行了这样的研究。他们对数据进行了处置，寻找我们期望在平展三维环面或另一种称为slab的平展三维外形中看到的相匹配的圆，但他们没有找到。这意味着，若是我们确实糊口在一个环面上，它可能很是大，以至于任何反复的模式都在可不雅测的宇宙之外。

球面几何

我们都熟悉二维球面——一个球的概况，或一个橘子的概况，或地球的概况。但我们的宇宙是一个三维球面意味着什么呢？

很难想象一个三维球面，可是经由过程一个简单的类比可以很轻易地界说它。就像二维球面是所有到通俗三维空间中某个中间点的距离都相等的点的调集，三维球面是所有到四维空间中某个中间点的距离都相等的点的调集。

在三维球面上的糊口和在平展空间里的糊口感受很是分歧。为了感触感染一下，想象您是一个糊口在二维球面上的二维生物。二维球面就是整个宇宙——您无法看到或进入四周的任何三维空间。在这个球面宇宙中，光沿着最短的可能路径传布：大圆。对您来说，这些大圆就像直线。

此刻想象一下，您和您的二维伴侣在海说神聊顶点闲逛，您的伴侣出去散步。当您的伴侣走后，一起头他在您的视野里会越来越小，就像在我们泛泛的宿世界里一样(尽管他们不会像我们习惯的那样敏捷缩小)。这是因为跟着您的视野规模的扩大，您的伴侣所占的比例越来越小：

可是一旦您的伴侣越过赤道，奇异的工作就发生了：他们离您越远，看起来就会越来越大。这是因为他们在您的视野规模内所占的比例在增添：

当您的伴侣离南顶点只有10步远的时辰，他们看起来和离您10步远的时辰一样大：

当他达到南顶点时，您可以从任何偏向看到他，所以他填满了您的整个视野：

若是南极没有人，您看到的会变得加倍奇异：您会看到您本身。那是因为从您身上分开的光会绕着球面转一圈，直到它回到您身上。

这可以直接推广到三维球面中的生物。三维球面上的每个点都有一个相对的点，若是那边有一个物体，我们看到的它就是整个布景，就仿佛它是天空一样。若是那边什么都没有，我们就会把本身看成布景，就仿佛我们的表面覆在一个气球上面，然后从里到外膨胀当作整个视野规模。

固然三维球面是球面几何的根基模子，但它并不是独一的这种空间。就像我们从欧几里得空间中切出一块并将其粘合在一路来缔造分歧的平展空间一样，我们也可以经由过程粘合三维球面中恰当的部门来缔造球面空间。与环面一样，每一个粘在一路的外形都有大厅镜面结果，但在这些球面外形中，只有有限个房间可以穿越。

我们的宇宙是球面空间吗？

即使是最自恋的人也不会把本身作为整个夜空的布景。可是就像平展环面一样，我们没有看到某种现象，并不料味着它不存在。球形宇宙的周长可能比可不雅测宇宙的周长还大，这使得布景离我们太远而看不见。

但与环面分歧的是，球形宇宙可以只经由过程局部测量来探测。球面外形与无限欧几里得空间的区别不仅在于它们的整体拓扑布局，还在于它们的邃密几何布局。例如，因为球面几何中的直线是大圆，所以三角形比欧几里得的三角形更膨胀，内角和跨越180度：

事实上，测量宇宙中的三角形是宇宙学家查验宇宙是否弯曲的根基方式。对于宇宙微波布景中的每一个冷点或热点，它的直径和它到地球的距离都是已知的，这可以形当作了一个三角形的三条边。我们可以测量这些弧在夜空中的角度——即三角形的三个角之一。然后我们可以查抄边长和角度的组合是否合适平展几何、球面几何或双曲几何(此中三角形的内角和小于180度)。

大大都这样的测试，连同其他的曲率测量，表白宇宙要么是平展的，要么很是接近平展。然而，一个研究团队比来提出（https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/），普朗克空间千里镜2018年发布的某些数据指标的目的这是一个球形宇宙，尽管其他研究人员辩驳说，这一证据很可能是统计上的侥幸。

双曲几何

不像球面自己是标的目的内弯曲的，双曲几何是标的目的外张开的。它是软帽子、珊瑚礁和马鞍的几何。双曲几何的根基模子是一个无限的空间，就像平展的欧几里得空间。可是因为双曲几何比平面几何标的目的外扩张的速度快得多，所以即使是二维双曲平面也无法放置于通俗的欧几里得空间中，除非我们愿意扭曲它的几何特征。例如，这是一个被称为庞加莱圆盘的双曲平面的变形图：

从我们的角度来看，鸿沟圆四周的三角形看起来比中间四周的三角形小得多，可是从双曲几何的角度来看，所有三角形的巨细都是一样的。若是我们试图使三角形的巨细不异，也许要用有弹性的材料来建造圆盘，从中间标的目的外让每个三角形膨胀——我们的圆盘起头像一顶软帽子，从中间标的目的外会越来越弯曲。当我们接近鸿沟时，这种弯曲将会掉去节制。

从双曲几何的角度来看，鸿沟圆与任何内点的距离都是无限远的，因为您必需穿过无限多个三角形才能达到那边。双曲平面标的目的四面八方无限延长，就像欧几里得平面一样。但就局部几何而言，双曲平面中的糊口与我们习惯的很是分歧。

在一般的欧几里得几何中，圆的周长与半径当作正比，但在双曲几何中，圆的周长与半径当作指数关系。我们可以看到，在双曲圆盘鸿沟四周聚积的三角形数目呈指数增加。

因为这个特征，数学家们常说在双曲空间中很轻易迷路。若是您的伴侣们在通俗的欧几里得空间中离您而去，他们看起来会越来越小，但转变很慢，因为您的视界并没有增加得那么快。但在双曲空间中，您的视界呈指数级增加，所以您的伴侣们很快就指数级缩小当作小点。若是您没有跟上您伴侣们的步伐，您今后几乎不成能再找到他们。

在双曲几何中，三角形的内角和小于180度，例如，鄙人图中，三角形的内角和为165度：

这些三角形的边看起来不是直线，但这是因为我们经由过程一个扭曲的镜头来不雅察双曲几何。对于栖身在庞加莱圆盘上的人来说，这些曲线就是直线，因为从 A 点到 B 点最快的体例是走这样一条捷径：

有一种很天然的方式可以建造一个三维的庞加莱圆盘模子——只需建造一个三维球体，然后用三维外形填充它，当它们接近鸿沟球面时，就会变小，就像庞加莱圆盘上的三角形一样。就像平展几何和球面几何一样，我们可以经由过程切割和粘合三维双曲球体的恰当部门获得其他三维双曲空间的组合。

我们的宇宙是双曲空间吗？

双曲几何，连同狭小的三角形和指数增加的圆，似乎与我们糊口的四周空间的几何不相符。事实上，正如我们已经看到的，到今朝为止，大大都宇宙测量似乎都倾标的目的于宇宙是平展的。

但我们不克不及解除我们糊口在一个球面宿世界或双曲宿世界的可能性，因为这两个宿世界在小规模看起来几乎是平展的。例如，在球面几何中，小三角形的内角和仅略大于180度，而在双曲几何中，小三角形的内角和仅略小于180度。

这就是为什么早期的人类认为地球是平的——在他们可以或许不雅察到的标准上，地球的曲率太小以至于无法探测。球面外形或双曲外形越大，每个小块就越平展，所以若是我们的宇宙是一个很是很是大的球面外形或双曲外形，我们可以不雅察到的部门就会如斯接近平面，其曲率只能期盼将来的超紧密仪器来检测。

本文经授权转载自微信公家号“和乐数学”。本文译自：quantamagazine，原题：What Is the Geometry of the Universe?来历：https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/

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