那些高悬赏的数学问题解决了吗？

You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.

——今世大数学家Mikhail Gromov

撰文 | 林开亮

也许汗青上第一个将钱直接与数学挂钩的数学家是古希腊数学家欧几里得。据说，曾经有个年青人跟从欧几里得进修几何，当他学完第一个命题今后就问教员，进修这些工具有什么用。欧几里得懒得理他，叫来家丁，叮嘱道：

给他三毛钱，打发他滚开！

在今日之中国，与这个古希腊年青人抱有同样设法的，也大有人在（真是阴魂不散呀！）。甚至近似的情景也一度再现，我就亲见微信群里发生这样一幕，有人拿出一个标题问题请大师会商，下面有人就说“这标题问题做出来有什么用”，于是出题人当即发了一个红包。在我看来，其用意与欧几里得千篇一律：请你闭嘴！

也许良多人深信司马迁在《史记》里的一句话“全国熙熙，皆为利来；全国攘攘，皆为利往”，但凡做点什么工作，都先想着是否能获得某些现实的益处。对于很多喜爱学问的人而言，他们从做学问中所享受到的欢愉就是无限的财富，并且远非物质财富可以对比。

当然，财帛固然是身外之物，但对大大都人而言，毕竟是一个实其实在的诱惑。并且，再伶俐厉害的人，可能也有他火急想要解决但本身一时又无法霸占的问题。于是就降生了八门五花的有奖赏格问题。这样的问题往往是公开的，一旦有人解决了问题，就会获得提问者允诺的奖金或奖品。

当今数学界最有名的有奖赏格问题乃“百万大奖问题”（Millennium Prize Problems），由美国 Clay 数学研究地点 2000 年提出，这个清单中有七个赏格问题，每个赏格 100 万美元。可以想见，这些问题都是大问题，不适合在这篇小文章中介绍，有乐趣的读者可以参考下书。

其实更多的赏格问题是由数学家个别而不是研究机构提出的。例如，葛立恒传授曾提到，对下述问题赏格 1000 美元。

对此有乐趣的读者还可以拜见数学家 R. K. Guy（1916年出生，9 月底就要满 103 岁）的《数论中未解决的问题》B.33 节 (中译本第 115 页)。这书中 F.15 节(中译本第 327 页) 还提到了葛立恒的下述问题：

这个问题由葛立恒 1970 年在《美国数学月刊》上提出，直到 26 年今后，才由 Balasubramanian 和Soundararajan 给出完整解决（谜底是必定的），他们的论文[1]近 40 页。2018 年, B. Bosek 等将上述猜想推广为一个图论成果，有乐趣的读者可以读读这篇不足 4 页的短文[2]：Graph coloring and Graham’s greatest common divisor problem, Discrete Mathematics,Volume 341, Issue 3, March 2018, Pages 781-785.

葛立恒的老友、匈牙利数学家 Paul Erd?s (1913–1996) ，以提出赏格问题而著称。例如，他有以下一个赏格3000 美元的问题：

Selfridge, Wagstaff 和 Pomerance 为下述问题供给了 620 美元奖金：

固然 John Selfridge (1927–2010) 已颠末宿世，但赏格仍然有用，有乐趣的读者可拜见 John Selfridge 的wikipedia 条目。关于本题的布景，可拜见前面提到的《数论中未解决的问题》A.12 节 (中译本第 40 页)。

下述问题由 Anatole Katok (1944–2018) 赏格 10000 欧元，考虑到只有少少数人大白其寄义，我们就直接引用原文了：

有乐趣的读者可拜见 A. Zorich 的综述文章Flat surfaces第 13 页[3]。

在中国，也有一位数学家提出了很多赏格问题，他就是南京大学数学系的孙智伟传授。他在其本家儿页[4]发布了几百个猜想，涉及数论、组合、行列式等，以下我们拔取几个有代表性的分享给读者。

该猜想已经对 2×10¹⁰以内的 n 验证。孙智伟传授对此猜想赏格 3500 美元。注重，3 与 5 刚好是后面两项的底数。

Giovanni Resta 验证该猜想对 10¹⁰以内的 n 当作立。孙智伟传授对此猜想赏格 2500 美元。

Yaakov Baruch 验证该猜想对 2×10¹²以内的 n 当作立。孙智伟传授对此猜想赏格 2468 美元。

侯庆虎对 10¹⁰的 n 验证了这一猜想。孙智伟传授赏格 2400 美元。一个近似的猜想如下：

侯庆虎对 10¹⁰的 n 验证了这一猜想。孙智伟传授赏格 1350 美元。

孙智伟传授证实了 x, y, z 可以取为整数。他对此猜想赏格 135 美元。

孙智伟传授对此猜想以及一个平行猜想共赏格 500美元。

孙智伟传授还有一个可能超越人类解决能力的猜想（2013年提出，未赏格），如下：

以上猜想是关于整数或分数的特别暗示的，下面还有一个与圆周率 π 相关的无限级数的猜想。

孙智伟传授 2011 年提出上述猜想，共赏格 300 美元。今朝孙传授正在写一本书《数论与组合中的新猜想》，本年年末交稿，将由哈工大出书社出书。对以上这些猜想有乐趣的读者，可浏览孙传授的本家儿页，此中包含更多的信息。网上也可以搜到其他一些相关的信息，例如这篇论文[5]解决了孙传授的一个赏格 520 美元的猜想。

当然，大大都公开的数学问题都是没有赏格的，赏格更多的是为了引起部门人的存眷，并表达对解答者的一个鼓动勉励。现现在，微信交流群与公家号中也有不少人发布数学问题征解，鞭策并加速了数学的交流。一个出色的互动案例由三峡大学旌旗灯号与信息处置重点尝试室王仕奎传授与美国伯克利尝试室的邵美悦博士供给。

据王传授奉告，他们后来又进一步会商其他问题，并合作颁发论文《线性相位 FIR 滤波器的充实需要前提》，将现有教科书上的一个细节进行了严密化。由此可见，交流互动何其有益！

在“许康华竞赛优学”公家号，还有很多赏格问题，有良多都已经获得解决，不外仍然有一些悬而未决，以下是一些代表：

此问题由山西大学从属中学王永喜教员征解，赏格500 元人平易近币。王永喜教员还有别的一个征解问题:

此中 det 暗示行列式。王教员对此问题赏格 200 元人平易近币。

下述问题由美国伯克利尝试室的邵美悦博士征解（无赏格），注重与之近似的一个问题已经为骆来根解决。

以下四个问题由杭州许康华教员征解，此中第 9 题

赏格 200 元人平易近币，第 10-12 题各赏格 300 元人平易近币。

我还想申明两点：

第一，本文介绍了部门赏格问题，也许重赏之下必有勇夫，为了奖金而有志于解决这些问题的伴侣，请你必然先找提问者（不是我）确认问题的近况以及允诺是否有用。此外，即便有些人是为了荣耀而去思虑这些问题，我也不克不及确认这里介绍的一些问题是否是真正的好问题，因为今世大数学家Mikhail Gromov 曾说：You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.

第二，我仍是建议对数学有乐趣的伴侣，多去思虑本身有感受的问题，这样收成可能更大些。我们的本意是让大师领会到，数学中一向有不少尚未解决的问题。若是你也有一个很关心的难题，能本身想出来当然最好，若是一向一筹莫展，可以考虑拿出来分享甚至赏格征解。例如，您可考虑投稿“许康华竞赛优学”公家号，这里卧虎藏龙，说不心猿意马就有解决可能甚至合作机遇。就我小我而言，我有个小问题愿意赏格 500 元人平易近币给第一个在《数学传布》颁发其解答的作者 (许可合作，所有作者奖金之和是 500 元[6])，该问题如下：

现有成果表白，当 z₁, . . . , z₅知足必然前提时，命题当作立。若是要问我小我的定见，我倾标的目的于相信它是对的。

片子《东邪西毒》剧照

最后，我想申明一下我小我赏格的念头。本家儿如果但愿看到这个问题若何被解决，我曾经解决了四个点z1, z2, z3, z4景象下的对应问题，可是方式未能推广到五个点的景象，这让我很没辙。之所以要求解答者在《数学传布》颁发，有两个原因：第一，本人未必有足够的时候和精神来判定可能的解答是否准确；第二，我想经由过程这种体例表达对《数学传布》的撑持，我与该刊已有十年交往，读稿与投稿都令我受益良多。7其实，奖金的诱惑远远赶不上在《数学传布》颁发一篇有趣文章所带来的喜悦。我但愿，不多久就能在《数学传布》上看到这样一篇标致文章。

称谢：感激南京大学孙智伟传授、三峡大学王仕奎传授、吉安市吉水县阜田中学孙志跃教员、山西大学从属中学王永喜教员、杭州许康华教员、美国伯克利尝试室邵美悦博士对作者供给帮忙。作者还参考了 mathoverflow 论坛上的会商。

脚注

[1]http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7511.pdf

[2]https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0012365X17303898

[3]https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf

[4]http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/

[5]http://arminstraub.com/downloads/pub/sun520.pdf

[6]极有可能, 作者将从《数学传布》获得的稿酬都比这里的赏格要多.

[7]原文就颁发于《数学传布》，见林开亮，Mordell的一个问题，《数学传布》，第 35 卷第 2 期（2011 年），51–58.

HTML格局：

https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=35205

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