给饮料里吹气玩，为什么出来的泡泡都是五 / 六边形？

为什么往饮料里吹气冒出来的泡泡大部分是五边形或者六边形的？

图片：Alexas_Fotos / CC0

为什么往饮料里吹气冒出来的泡泡大部门是五边形或者六边形的？

返朴，微信公家号《返朴》（ID：fanpu2019）

很是有趣的问题！

两个番笕泡沾到一路后是什么构型？三个番笕泡沾到一路后是什么构型？回覆这个问题，不雅察灵敏还会点抽象的物理学家轻易得出结论，但若要给出证实数学家也得绞尽脑汁。最小面理论、几何测度论领会下？

现实上良多科学家都曾经陷溺在泡泡里，这背后也有良多有趣的科学常识。很欢快我们请来了老伴侣，中国科学院物理研究所研究员曹则贤教员，来为我们讲讲泡泡和泡泡背后的故事：

泡泡

炎天下雨的时辰，雨滴打在积水上有时辰会击打出气泡（bubble）来。气泡刚发生时会四下流移，然后没过多久就啵的一声分裂了。这申明气泡的发生和维持都是需要知足某些前提的。清洁的水不轻易发生气泡。气泡表里的压差 △p 同界面能 γ 和界面几何之间的关系为 △p = γ（1/R1+2/R2），此中 R1，R2 是液膜的本家儿曲率半径，γ 是液体的概况张力，又叫概况能。对于球形气泡 R1=R2=R ，R 是气泡的半径，气泡的表里压差为 △p = 2γ/R 。常温下纯水的概况能高达 72 mJ/m2，这几乎是液体金属以外的物质能达到的最大值，是以半径在毫米以下的水气泡，其表里压差是大气压量级的。插手番笕、酒精、草木灰一类的物质能显著降低水的概况能，有助于水泡的发生。吹泡泡大要是最简单的游戏了：标的目的清水里插手一些洗洁精，再找一根吸管，一件能给孩子带来无限乐趣的玩具就做好了。看着因为吹泡泡而欢呼雀跃的孩子，当作年人的心里想必也布满了欢喜。

有些当作年人在吹泡泡时，心里布满的除了欢喜还有深刻的数学和物理。醉心于吹泡泡的大神有闻名的物理学家开尔文爵士（Lord Kelvin，1824-1907），那可是热力学的奠定人，熵概念的创作发明者。据说其侄女 1887 年到乡间去探望他时，年高德劭的老爵士就在忙着吹泡泡。良多泡泡聚在一路，形当作泡沫（foam），见图 1。泡沫的整体构型是概况能（概况积）最小的构型，这是一个我们坚信不疑的物理道理。不知是否是受泡沫的开导，开尔文爵士猜测截角八面体聚积构型的总概况积最小，这便是所谓的开尔文猜想。不外，1993 年 Denis Weaire 和 Robert Phelan 找到了一种概况积更小的泡沫布局，从而鉴定开尔文猜想不当作立。这是来自不雅察番笕泡沫的一项主要的数学、物理研究。

本篇要介绍的，是关于泡泡的普拉托心猿意马理的证实。这是一类看起来简单、直觉上大白其是对的、可是却很是难以证实的闻名命题之一。

关于泡泡的普拉托心猿意马理

比利时物理学家普拉托（Joseph Plateau, 1801-1883）是一个醉心于视觉研究和吹泡泡的人（图 2）。普拉托是最早熟悉到视觉暂留的人，其晚年掉去了视觉，据说仍指导侄子吹泡泡继续他的研究。他 1873 年出书的长达 450 页的《仅置于分子力之下的液体之静力学》一书是关于泡泡研究的经典。作为一个科学家，面临泡 - 沫（bubbles and foam）这种人所共知的存在，普拉托看出来了很多很不直不雅的内容。普拉托其人其事，出格适于用来阐述科学家（依人之赋性而非职业而言）同非科学家之间的区别。

关于泡泡，一个孤立的悬浮气泡，不考虑空气流动或者重力、温度场对液体分布的影响，是球形的。若是很多泡泡漂浮在空中，很可能会发生两个或多个气泡相遇而归并（merge, coalesce）的景象（图 3）。那么，两个气泡相遇其不变构型是什么样的呢？三个呢？或者笼统地说，气泡团簇（bubble cluster）的构型会是什么样的呢？一般人很轻易想到，若两个气泡是完全等同的，则它们相遇后的构型必心猿意马是对称的，是以它们的鸿沟必然是一个平面，两个泡泡各自的外形关于这个平面当作镜面临称。然而，我们知道，一个球形气泡其表里压差为 △p = 2γ/R。因为飘在空中的气泡，其外部都是一个大气压，显然气泡越小，其内部压力越大。若一大一小两个气泡相遇，小的气泡会挤压大的气泡，进入大气泡的内部（可能很多人此时的反映是：是吗？我没注重啊）以达到一个均衡的构型（图 4），为此气泡内的体积和压力都要调整。

普拉托颠末多年研究，获得了关于气泡及其归并构型的很多主要结论，可总结为普拉托心猿意马理如下：

1. 气泡由完整滑腻的曲面（entire smooth surfaces）拼当作；

2. 气泡的每一片膜都是常平均曲率曲面（mean curvature is everywhere constant on any point on the same piece of a film）；

3. 泡泡概况的鸿沟必然是由三概况两两相接组成的三条曲线（称作普拉托鸿沟），其交角为 120°，即夹角为 arccos(−1/2) = 120°；

4. 普拉托鸿沟之间订交必然是由四条鸿沟订交组成一个点，四条鸿沟线两两之间的交角都不异，等于正四面体的中间同各极点连线所当作的角，即夹角为 arccos(−1/3) = 109.47°。

这四条普拉托心猿意马理，除了第一条以外，都不是那么直不雅，意思是不是平常人经由过程不雅察能总结出来的。普拉托心猿意马理第 1、2 两条谈论的是气泡（团簇）的滑腻部门，第 3、4 两条谈论的是布局中存在的奇性（singularity）问题。普拉托心猿意马理的第 3、4 两条的意思是泡泡有两种相遇的模式，或者说气泡团簇的奇性有两类：要么是三个概况沿一条曲线相遇；要么是六个概况相遇于一点。最主要的是，相遇处相邻面之间的夹角是相等的，别离为 120°或者为 109.47°。至于证实，我们会发现，这要求很高深的学问，包罗微分几何和几何测度论等即即是对数学专业的人也不算轻易的学问。不外，泡泡多有趣啊，为了理解泡泡，为了帮忙孩子理解泡泡，学点微分几何不是搂草打兔子的事儿吗？

普拉托心猿意马理的证实

普拉托心猿意马理证实的关头，是要证实有第 3、4 两条给出的相遇模式，还要证实此构型相对于变形是不变的，且在此构型下面积最小。可以想见，这个问题的证实不克不及一蹴而就，它是一场聪明的接力。先看普拉托心猿意马理的第一条，气泡由完整滑腻的曲面组成。对于一个自撑持（free-standing）的气泡，即悬浮在空中的、单个的气泡，不雅察告诉我们它是球形的（图 1），此时布局不存在奇性，应该属于最简单的景象。然而，关于这个结论的证实，也有很多可訾议处。一般证实是纯数学角度的，论证给心猿意马面积的曲面，球面包裹的体积最大。这个证实据信在亚里士多德的《论天》（de caelo）一书里就有。从物理的不雅点来看，限制一个气泡的前提（忽略重力、温度等身分）是泡内气体的量（而非体积）和外部的情况气压。气体的流动性使得气压各标的目的同性，它注心猿意马了气泡膜的构型具有最大的对称性，即球对称性。压力均衡的前提是硬性的，气泡膜的厚度（这是物理问题）会适度调整来达到均衡前提，是以也就调节了气泡内的体积。以气泡内体积恒心猿意马的数学证实与物理实际是有收支的。

普拉多问题证实的难点，是不轻易做到 without a strong initial assumption on the smoothness and symmetry，即很难做到一起头不合错误构型的滑腻性与对称性做一些强的假设。在数学上，可以把曲面理解为从平面区域（2D domain）标的目的三维空间的映射，变分法是求极值（好比要求面积最小）的方式。可是这个方式有良多短处，其最大的问题就是缺乏紧致性。若是预先假心猿意马番笕泡是紧致曲面的话, 那么按照曲面微分几何中的阿列克桑德罗夫心猿意马理，这曲面必心猿意马是一个尺度球面。然而，气泡团簇构型是一个含有奇性的布局，好比两气泡相遇后造当作的界线，此处曲面发生弯折。可以想见，关于气泡问题证实的首要使命是阐发奇性的布局（structure of singularity），并予以分类。此问题已研究过一个多宿世纪，相关当作果也非得自一篇论文。

所幸的是，一个真正科学的问题不会只有一个侧面，它可能会以分歧的脸孔遭遇分歧的科学家。1964 年，Aladar Heppes 证实了球面上测地线以 120°夹角订交（这和普拉托心猿意马理的第 3、4 条有关）的构型只有 10 种（图 5）可能性。接着，女数学家泰勒（Jean E. Taylor， 1944-）证实了前三种以外的构型面临变形都是不不变的，而前三种对应的就是滑腻概况和普拉托心猿意马理的第 3、4 条涉及的奇性种类（types of singularity）。泰勒 1976 年顺着切锥（tangent cone）、关于等周不等式到奇性布局的路子，机关了一个对普拉多问题的证实。如大师可能已经感知的，这个证实是冗长的、且是有些限制的。这个证实操纵了 rectifiable current （可求长的流），测度等几何测度论的概念。大致说来，这要用到几何测度论的学问，可分为三部门：切锥阐发，一个微分形式的等周问题不等式的证实，然后从此不等式获得微分布局。此中第一部门证实三维空间中面积最小的锥是 Y （半圆盘及其绕直径为轴转 120°和 240°之构型的交集），以及 T（

，此中 C 是对中间在原点、顶角包罗点（3, 0, 0）和

之正四面体之一侧所张的中间锥）。从这里大师应能看到普拉托心猿意马理的影子了。

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多余的话

泡泡问题展示了一个很是简单的道理，即物理意义上的概况能最小或者数学意义上的面积最小，然而问题却未必那么简单。从物理的角度来看，哪怕完全不考虑重力、温度等身分的影响，泡泡问题的外部约束也是外部压力恒心猿意马，而非数学证实擅长的给心猿意马鸿沟的最小曲面问题。对于单个泡泡来说，其构型为球形，此时对称性最大。对称性最大意味着某些物理量取极值。笔者 2018 年才想到并坚信了这一点（好比笔者坚信金刚石的极大杨氏模量就与其化学的和电子布局的对称性有关）。以笔者有限的见识，从此角度出发做物理的范式，似乎未见过。

泡泡问题的复杂性源于几何构型转变的素质。番笕泡沫这种布局是那种几乎处处法则（regular almost everywhere）的布局。那法则的曲面部门可看作是从二维圆盘到三维空间的一个滑腻的映射好了，可是，那些不法则的处所，好比两个泡泡的（一维）界线处，就需要出格的描述，好比引入特别的测度。关于泡泡团簇构型的证实，难就难在这里。为此，数学家不得禁绝备一门全新的学问。证实一个问题，可能起首需要在此外条理、用别样的目光看这个问题。

在阅读关于泡泡问题的数学书时，备受煎熬的笔者突然想到，优异的数学家应该是典型的一类不克不及好好措辞的人吧，不知道优异数学家的配头是否也必需是不克不及好好措辞的那类人？笔者脑中灵光一闪，发现了一个关于数学家的心猿意马理: “任何配头调集非空的数学家都不是及格的数学家，除非其配头自身是及格的数学家。” 或者换个更强一点的表述，“若任何配头调集非空的数学家是一个及格的数学家，则其配头自身必然是及格的数学家。” 五分钟后笔者看到了女数学家泰勒同其第二任丈夫、数学家兼导师 Almgren 的成婚照。泰勒密斯 1976 年证实普拉托心猿意马理的论文就是基于 Almgren 的理论的。宿世界太神奇了，笔者提出数学家心猿意马理 5 分钟后就发现了证据。趁便提一句，泰勒密斯本科是学化学的，硕士导师是几何大师陈省身师长教师。

建议

本篇可以和《物理学句斟字嚼》088 Bubble & Foam （泡与沫）对照阅读。

深度阅读

1. Joseph Plateau，Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires （仅置于分子力之下的液体之静力学）, Gauthier-Villars （1873）.

2. Jean E. Taylor, The Structure of Singularities in Soap-Bubble-Like and Soap-Film-Like Minimal Surfaces, Annals of Mathematics, Second Series, 103 （3）, 489-539 （1976）.

3. Cyril Isenberg, The science of soap films and soap bubbles, Dover publications, Inc. （1992）.

4. Frank Morgan, Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide, 3rd edition, Academic press （2000）.

5. 曹则贤，《物理学句斟字嚼》卷四，中国科学手艺大学出书社（2019）.

6. Philip Ball, Nature's Patterns, Oxford University Press （2009）.

本篇取自曹则贤《惊艳一击——数理史上的绝妙证实》一书，外语讲授与研究出书社，2019.

《返朴》，致力好科普。国际闻名物理学家文小刚与生物学家颜宁联袂担任总编，与几十位学者构成的编委会一路，与你配合求索。存眷《返朴》（微旌旗灯号：fanpu2019）介入更多会商。

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