虚数到底有什么意义？从 i 说起

有人在Stack Exchange问了一个问题：

"我一向感觉虚数（imaginary number）很难明。

中学教员说，虚数就是-1的平方根。

可是，什么数的平方等于-1呢？计较器直接显示犯错！

直到今天，我也没有搞懂。谁能诠释，虚数到底是什么？

它有什么用？"

帖子的下面，良多人给出了本身的诠释，还保举了一篇很是棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，本来虚数这么简单，一点也不奇异和难明！

下面，我就用本身的说话，讲述我所理解的虚数。

一

什么是虚数？

起首，假设有一根数轴，上面有两个反标的目的的点：+1和-1。

这根数轴的正标的目的部门，可以绕原点扭转。显然，逆时针扭转180度，+1就会酿成-1。

这半斤八两于两次逆时针扭转90度。

是以，我们可以获得下面的关系式：

(+1) * (逆时针扭转90度) * (逆时针扭转90度) = (-1)

若是把+1消去，这个式子就变为：

(逆时针扭转90度)^2 = (-1)

将"逆时针扭转90度"记为 i ：

i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的界说公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针扭转90度，i 不是一个数，而是一个扭转量。

二

复数的界说

既然 i 暗示扭转量，我们就可以用 i ，暗示任何实数的扭转状况。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就组成了一个二维平面。扭转到某一个角度的任何正实数，必然独一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，好比( 1 , i )，就可以确定某个实数的扭转量（45度）。

数学家用一种特别的暗示方式，暗示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标毗连起来。好比，把 ( 1 , i ) 暗示当作 1 + i 。这种暗示方式就叫做复数（complex number），此中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标暗示当作这样呢，下一节告诉您原因。

三

虚数的感化：加法

虚数的引入，大风雅便了涉及到扭转的计较。

好比，物理学需要计较"力的合当作"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合当作力是几多？

按照"平行四边形法例"，您顿时获得，合当作力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四

虚数的感化：乘法

若是涉及到扭转角度的改变，处置起来更便利。

好比，一条船的航标的目的是 3 + 4i 。

若是该船的航标的目的，逆时针增添45度，请问新航标的目的是几多？

45度的航标的目的就是 1 + i 。计较新航标的目的，只要把这两个航标的目的 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因鄙人一节诠释）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航标的目的是 -1 + 7i 。

若是航标的目的逆时针增添90度，就更简单了。因为90度的航标的目的就是 i ，所以新航标的目的等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变扭转角度。

五

虚数乘法的数学证实

为什么一个复数改变扭转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证实，现实上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写当作扭转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就半斤八两于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

睁开后面的乘式，获得

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

按照三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证实了，两个复数相乘，就等于扭转半径相乘、扭转角度相加。

本文来历于阮一峰的收集日记，戳“http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html”可查看。

撰文 | 阮一峰

《返朴》，科学家领航的好科普。国际闻名物理学家文小刚与生物学家颜宁配合出任总编纂，与数十位分歧范畴一流学者构成的编委会一路，与您配合求索。存眷《返朴》介入更多会商。二次转载或合作请联系返朴公家号后台。

发表于 2020-01-20 02:00
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