世界级千禧难题“纳维-斯托克斯方程”：数学史上最复杂的公式

比拟起黎曼猜想、费马大心猿意马理、哥德巴赫猜想等全球知名的难题，纳维-斯托克斯方程的存在感很低，即使活着界千禧年七浩劫题里，也很少会有人说起，最主要的原因就是，这个难题其实是不太好理解，尤其对于通俗人而言，甚至名列榜首的P/NP问题通俗人都可以揣摩到一些，但就是很难理解纳维—斯托克斯方程，这也是为什么平易近科很少触及这个问题的原因。

大师可以看看百度百科上对这个难题的描述：

升沉的海浪跟从着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的划子，湍急的气流跟从着我们的现代喷气式飞机的飞翔。数学家和物理学家深信，无论是轻风仍是湍流，都可以经由过程理解纳维-斯托克斯方程的解，来对它们进行诠释和预言。固然这些方程是19宿世纪写下的，我们对它们的理解仍然少少。挑战在于对数学理论作出本色性的进展，使我们能解开埋没在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

没头没从头至尾，你甚至在这段话里都很难测度出这个难题事实描述的是什么问题，吐露出一股形而上学的问题，今天我们就来聊聊纳维-斯托克斯方程。

这个方程并不是一小我提出来的，1775年，闻名数学家欧拉，对，没有错就是数学界四大天王欧拉，他现在又来掺和流体力学了，他在《流体活动的一般道理》一书中按照无粘性流体活动时流体所受的力和动量转变从而推导出了一组方程。

方程如下：(ax?D?+bxD+c）y=f(x）（只是此中一种形式，还有泛函极值前提的微分表达式等），这是属于无粘性流体动力学（抱负流体力学）中最主要的根基方程，是指对无粘性流体微团应用牛顿第二心猿意马律获得的活动微分方程，它描述抱负流体的活动纪律。奠基了抱负流体力学根本。

粘性流体是指粘性效应不成忽略的流体。天然界中的现实流体都是具有粘性，所以现实流体又称粘性流体，是指流体质点间可流层间因相对活动而发生摩擦力而抵挡相对活动的性质。

1821年，闻名工程师纳维推广了欧拉的流体活动方程，考虑了分子间的感化力，从而成立了流体均衡和活动的根基方程。方程中只含有一个粘性常数。

1845年斯托克斯从持续统的模子出发，改良了他的流体力学活动方程，获得有两个粘性常数的粘性流体活动方程的直角坐标分量形式，这就是后宿世所说的纳维-斯托克斯方程。

纳维-斯托克斯方程有良多种表达形式

诠释纳维-斯托克斯方程的细节之前，起首，必需对流体作几个假设。第一个是流体是持续的。这强调它不包含形当作内部的空地，例如，消融的气体气泡，并且它不包含雾状粒子的聚合。另一个需要的假设是所有涉及到的场，全数是可微的，例如压强P，速度v，密度ρ，温度Q等等。该方程从质量，动量守恒，和能量守恒的根基道理导出。

对此，有时必需考虑一个有限的肆意体积，称为节制体积，在其上这些道理很轻易应用。该有限体积记为ω，而其概况记为?ω。该节制体积可以在空间中固心猿意马，也可能跟着流体活动。

可以说纳维-斯托克斯方程是浩繁科学家和工程师的鞭策下发生的，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程成立了流体的粒子动量的改变率（力）和感化在液体内部的压力的转变和耗散粘滞力（近似于摩擦力）以及引力之间的关系。这些粘滞力发生于分子的彼此感化，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述感化于液体肆意给心猿意马区域的力的动态均衡。

在流体力学中，有良多方程，但良多方程都和纳维尔-斯托克斯方程有着联系，纳维-斯托克斯方程可以说描述了流体范畴的大部门前提，当然了，该方程也有其合用规模，该方程只合用于牛顿流体。

什么是牛顿流体呢？简单说就是：任一点上的剪应力都同剪切变形速度呈线性函数关系的流体。一般高黏度的流体是不知足这种关系的，申明牛顿流体和非牛顿流体有个简单的例子就是大师熟知的虹吸现象。在低黏度下，虹吸要进行下去，吸收口必需在页面以下，但非牛顿流体的高黏度流体下，吸收口哪怕高于液面，其虹吸依然可以或许进行，因为黏度太大了。

而对于工程应用来说，大部门环境仍是处置牛顿流体，或者可以近似为牛顿流体。可以说，该方程在流体力学中起着根本性的感化，但也起着决议性的感化。

关于这组方程所涉及的难题就是，若何用数学理论说明这组方程。对，甚至用数学理论说明用于描述独特黑洞的爱因斯坦场方程城市比阐述纳维-斯托克斯方程更简单一些。

所以有关纳维-斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题被称为纳维-斯托克斯方程解的存在性与滑腻性。

尽管纳维-斯托克斯方程可以描述空间中流体（液体或气体）的活动。纳维-斯托克斯方程式的解可以用到很多现实应用的范畴中。好比可以运用到模拟气候，洋流，管道中的水流，星系中恒星的活动，翼型四周的气流。它们也可以用于飞翔器和车辆的设计，血液轮回的研究，电站的设计，污染效应的阐发等等。

不外今朝对于纳维－斯托克斯方程式解的理论研究仍是不足，尤其纳维－斯托克斯方程式的解常会包罗紊流。

紊流又称湍流，是流体的一种流动状况。当流速很小时，流体分层流动，互不夹杂，称为层流，或称为片糖；逐渐增添流速，流体的流线起头呈现波状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增添而增添，此种流况称为过渡流；当流速增添到很大时，流线不再清晰可辨，流场中有很多小漩涡，称为湍流，又称为乱流、扰流或紊流。（飞机最怕碰见湍流）

固然紊流在科学及工程中很是的主要，可是紊流无序性、耗能性、扩散性。至今仍是未解决的物理学问题之一。

别的，很多纳维－斯托克斯方程式解的根基性质也都尚未被证实。因为纳维-斯托克斯方程依靠微分方程来描述流体的活动。分歧于代数方程，这些方程不追求成立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而追求成立这些量的转变率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些转变率对应于变量的导数。此中，最简单环境的0粘滞度的抱负流体的纳维-斯托克斯方程表白，加快度（速度的导数，或者说转变率）是和内部压力的导数当作正比的。

这暗示对于给心猿意马的物理问题，至少要用微积分才可以求得其纳维-斯托克斯方程的解。适用上，也只有最简单的环境才能用这种方式获得已知解。这些环境凡是涉及不变态（流场不随时候转变）的非紊流，此中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（低雷诺数）。

对于更复杂的景象，例如厄尔尼诺这样的全球性景象形象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必需借助计较机才能求得。这个科学范畴称为计较流体力学。

例如数学家就尚未证实在三维座标，特心猿意马的初始前提下，纳维－斯托克斯方程式是否有合适滑腻性的解。也尚未证实若这样的解存在时，其动能有其上下界。

而千禧年关于纳维－斯托克斯方程的问题则更为坚苦，它给出的问题是：在三维的空间实时间下，给心猿意马一路始的速度场，存在一贯量的速度场及纯量的压强场，为纳维－斯托克斯方程式的解，此中速度场及压强场需知足滑腻及全局界说的特征。

注重，宿世界千禧年七大数学问题中每个数学问题的官方陈述除了P/NP问题之外，都是由此范畴或者在此问题上做出过当作果的菲尔兹奖得本家儿进行撰写，确保可以或许精辟归纳综合出问题，从而包管问题的严谨性，而P/NP问题因为涉及到计较机方面，所以官方陈述是由图灵奖得本家儿斯蒂芬·库克撰写，纳维-斯托克斯方程存在性与滑腻性。查尔斯·费夫曼撰写的官方陈述

若是你没有法子理解，你可以简单理解当作，科学家但愿可以找出纳维－斯托克斯方程的通解，也就是说证实方程的解老是存在。换句话说，这组方程可否描述任何流体，在任何肇端前提下，将来任一时候点的环境。

一组用数学理论说明都坚苦的方程组，你还需要去证实这个方程的解老是存在。这让很多科学家为之解体。

今朝来说，今朝只有大约一百多个特解被解出来。而数学家让·勒雷在1934年时证实了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上知足纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上知足。

而自此之后，关于纳维-斯托克斯问题的研究就裹足不前，所以它也被称为最难的数学或物理公式，直到 80 年今后，陶哲轩在纳维-斯托克斯问题上颁发了文章《Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation》，他的本家儿要目标是将纳维－斯托克斯方程全局正则性问题的超临界状况樊篱形式化。粗略地说，就是抽像地成立纳维－斯托克斯方程的全局正则性是不成能的。陶哲轩认为，相信抽象方式（基於能量等式的泛函阐发方式好比半群等）和纯粹的和谐阐发应该是不敷用的，可能必需要用到NS方程的特别几何好比vorticity，这篇文章就是机关了一个近似于NS方程、但不是原先的NS方程的一个反例。

他说，想象一下假若有人异常伶俐，纯粹用水缔造了一台机械，它并不由杆和齿轮而是由彼此感化的水流组成。陶边说着边像魔术师般用手在空中比划出一个外形。想象一下这台机械可以copy出另一个更小速度更快的本身，接着这个更小速度更快的又copy出另一个，不竭继续下去，直到在一个细小的空间达到了无限的速度，从而激发了爆炸。陶笑着说到他并不是提议真的建立这样一台机械，这只是一个思惟尝试，就像爱因斯坦导出狭义相对论。可是，陶诠释到，若是可以从数学上证实在原则上没有什么可以阻止这个奇奥装配运转，那么这便意味着水现实上会爆炸。并且在这个过程中，他也会解决纳维－斯托克斯方程的存在性与滑腻性的问题。