法国数学家庞加莱曾经提出一个问题：既然数学的证据成立于所有正常心智都能接管的逻辑法则之上，那么，为什么有人不睬解数学呢？这是若何发生的呢？这个问题无疑牵扯到数学教育，以及数学和人类认知的关系等问题：数学是天然界的客不雅纪律，仍是人类大脑纯粹的本家儿不雅机关？我们要如何才能学好数学？

前不久，首都师范大学特聘传授李克正在一场名为“若何学数学”的专题讲座上切磋了这一问题。本文按照讲座内容清算而当作，但愿对您会有所开导。

撰文 | 李克正（首都师范大学特聘传授）

这个标题问题欠好讲，因为每小我应该按照本身的环境找到最适合本身的进修方式，即使只是要给某一个同窗提建议，也得先对这个同窗有充实的领会。

但反过来看，常见良多人对于数学采纳的不恰当进修方式，却是有良多配合之处。简言之，准确的道路各不不异，错误的道路却常类似。我们就从这个角度起头会商。

0 不要相信“教育学家”的话

良多人觉得数学教育属于教育学的规模，其实不合错误。数学教育有良多本色上的特别性，在教育学的教科书中完全没有涉及。例若有教育家说进修常识的一般方式是“理解+记忆”，这对于进修数学就不合用。

良多中学雇用数学教师，宁可要数学专业身世但没学过教育学的，也不肯要教育学身世但数学根本亏弱的。不久前我看到美国一个数学教育范畴的传授说，他的最差的学生都是教育学身世。

迩来中国和美国的良多数学教育方面的专家在会商教育学家对于数学教育的危险，但这分开本陈述的标题问题较远，所以我们仅仅提醒大师不要被某些“教育学家”误导。应该针对数学进修的特别性来会商。

那么，与其他学科比拟，数学进修有些什么特别性呢？

（1）数学底子上来自天然界，是以进修数学要拥抱天然，出格是要避免离开天然。

（2） 进修数学的最强动力是乐趣，是以培育乐趣对于学好数学至关主要。

（3） 进修数学需要尝试，尝试的质量对于数学进修的质量有主要影响。

（4）数学的内容极为广漠，是以进修的内容 （包罗教科书）的选择极为主要。

（5）数学竞赛对于激励数学乐趣和提高数学程度有主要的感化，但要避免一些误区。

（6）数学是科学，所以进修数学应该用进修科学的方式，而不是用例如进修手艺或律例的方式。

（7）进修数学的过程不仅有常识的堆集，并且有理念的晋升，为了培育数学本质尤其需要因材施教。

我们下面针对每个特点讲得具体些，可否讲完并没关系，只但愿同窗们能看到一些要点。是以，若是有问题请随时提出。

1 进修数学要拥抱天然

起首问大师一个问题：

数学是天然界的客不雅纪律，仍是人脑子中的纯粹本家儿不雅的工具？

不要求大师顿时回覆，因为这个问题即使在当作年人中，甚至在科学家中也一向有着激烈的争论，是个底子性的哲学问题。

彻底的唯物本家儿义者认为，数学底子上来自天然界，是以进修数学要拥抱天然，出格是要避免离开天然。一些数学家（如小平邦彦）采用“数觉”这个术语，即对于数学对象的物理直不雅。

然而一种很是遍及的不雅点是：数学是“理论科学”，只是动动脑子的事，“数学对良多人来说是死板的、深邃的、抽象的”（参看参考文献 [3]），甚至是乏味的、无用的、无聊的。更有些极端的观点，否定数学是科学，否定数学所研究的是天然纪律，认为天然数纯粹是人脑子里的工具，或者是“存在于天上的纯粹理型”，或者纯粹是文字和符号的游戏，等等。抱着这样的立场进修数学，不免离开现实，甚至完全没有“数觉”。

进修数学不是只要熟悉数字，会写会算就行。起首要理解天然数的“天然”意义，没有“数觉”却尽管操练记数、计较等，是学不懂数学的。

小学生做良多数学应用题，中学生却很少做甚至不做，其实中学生更应该做，这是回归天然的一个主要路子。什么样的习题是“天然”的呢？这不太轻易说清晰，但“天然”的反义词是“人工”，那些在天然界中不存在的现象，报酬编造的前提，牵强附会的假设，与数学无关的说话障碍或陷阱等都属于这一类。例如小学教科书上有个标题问题：

在一个仓库里有良多葡萄，颠末一段时候因为水分蒸发重量变轻了。重量少了几多呢？

谜底是 50% 。

这样不“天然”的习题很常见。

华罗庚师长教师昔时做数学普及陈述，经常举日常糊口中应用数学的活泼例子。如

蜂巢为什么最省材料？

什么样的茶叶桶盖失落不下去？

街口的红绿灯应该如何设计？

苏联导弹试验场的奇异外形申明了什么？

这些陈述都给了听众们很是深刻的印象，一个主要的原因就是此中有良多天然的例子。

还有一种常见的论调，说糊口中只需要用到小学的数学，更深的数学没用。现实上此刻大大都人学的数学都是很当作熟的数学，只要学通了都很有效。为了让同窗们本身有所体味，这里留一个小学程度的习题。

习题：

某商铺举办返券发卖勾当，小萌和妈妈传闻后一路去逛商铺，但愿能“淘”到几件日常平凡舍不得买的工具。到店里看到这样的法则：

采办服装类每付现金 100 元返回礼券 80 元，鞋类每付 100 元返券 60 元，器具类每付 100 元返券 40 元，所付现金不足 100 元的部门不返券，所返的券可在返券发卖勾当时代在店里买任何商品。

妈妈看中一套衣服，标价为 498 元；小萌看中一双活动鞋，价钱为 320 元；妈妈还想买一套炊具，价钱为 245 元。如何买才能尽可能省钱呢？

中学生在数学的应用方面应该比小学生有更高的要求，不仅要会做应用题，并且要可以或许将现实工作中的问题转化为数学问题并予以解决，就是说要培育数学建模的能力。

陈省身师长教师说过：“数学是一切科学的根本，数学的练习遍及的有效”。但对于数学有严重成见的人（包罗缺乏数觉的人）是不成能理解这两句话的。

2 培育数学乐趣

数学揭示天然界的纪律，而人原本就属于天然界，领会天然界的欲望是人类的本能，是以对数学的乐趣是可以天然地形当作的。可是，若是学的或做的是不天然的数学，则无助于培育数学乐趣，甚至会危险数学乐趣。

进修数学的最强动力是乐趣，比其他动力如功利、声誉甚至强迫等的动力都要大。遗憾的是，我碰到过一些同窗原本很喜好数学，后来却因为不妥的数学教育变得不喜好甚至恨数学。

陈省身师长教师给小学生的一个题字是“数学好玩”。不知在座的有几多同窗感觉数学好玩。

常州怀德苑小学的大大都同窗都很喜好数学，他们在校园里处处城市受到数学的陶冶（见下图）。他们上数学课也常是在玩中学。该校还写了一本书《玩数学》（参看参考文献 [9]），系统地申明了在这方面的理念、成就和规划。

校园里的“数学”。

3 数学尝试

作为科学，数学发生于尝试，在这一点上与物理、化学等都是一致的。分开天然界，数学底子不成能存在——不成能发生。最早的数学研究对象—— 天然数的客不雅存在，是一个物理事实，人类只是“发现”而不是“发现”了天然数。

小孩子扳着手指数数，就是一个数学尝试（当然是很简陋的）。小时辰玩的一些玩具中也有简单的数学尝试。作为计较东西已经裁减的算盘，也是一种数学尝试设备，它的数学教育功能尚未完全过时。在初中数学教育中，本来也有必备的通用尝试东西—— 圆规和直尺。

一个班的学生中一般总有几个学得欠好的，良多人将此简单地归因于这些学生“笨”或者“懒”，还有归因于“智商”的（并且有些人将智商说当作是先天身分）。另一方面，经常也总有几个学生学得很好，这也使一些人认为他们“伶俐”“勤恳”或“智商高”，由此往往会得出一个错误的判定，就是在数学讲授中不需要尝试，没有尝试他们不是也学得很好吗？其实否则。少数学生不需要某个尝试，可能是因为他们以前做过有同样结果的尝试，但其他学生仍是需要的。

近年来数学尝试在数学教育中日益受到正视，只是尝试手段还有待提高。例如，

为让学心理解全等的概念，此刻最好的中学数学教师所采用的尝试仍是用两张透明胶片滑移使图形重合，还没有比这更好的手段；

为了理解长方体，可以用叠纸盒的方式做尝试，这尝试用电脑应是可以虚拟化的（在电脑显示屏上看到），但至今还没有人做出响应的程序，而做这样一个程序，工程不小、当作本也不低；

为了理解用平面切割圆锥获得圆锥曲线，一个简单而粗拙的尝试是用手电筒照墙面，此刻还没有比这更便利更切确的手段，等等。

此刻良多小学成立了数学尝试室，例如怀德苑小学（见下图）。

数学尝试室

除了这些尝试设备外，一个较为进步前辈的数学尝试手段是计较机虚拟尝试（参看参考文献 [17]）。张景中师长教师成立的“超等画板”可以作为一个尝试平台，我们与张师长教师合作成立了一些虚拟尝试，包罗活动、角、勾股心猿意马理（割补法）、数轴、牛顿-莱布尼兹公式等。

在更深的数学中，尝试同样有助于进修。例如下面的尝试是为了理解群论的（hexa1，2，6）。

（三个视频请查看“返朴”微信2019年9月13日推送的头条则章。）

4 进修内容的选择

一个中小学教员能把给心猿意马的数学教程教好，就是优异教师了。至于数学教程中应该有哪些内容，这不是教员应该管的，并且一般是管不了的。

“教什么”的问题，在其他学科中一般不很锋利，至少有一部门内容是近年来的新进展。例如生命科学，此刻都要讲基因，而在六十年前完全没有，因为那时基因还没发现。

但数学却否则，一般人学的最新也是几百年前的数学，即使两千多年前欧几里德写的《几何原本》，此刻也仍然可用。在数千年甚至更长的汗青期间中，数学有丰硕的堆集，此中有良多是永远不会过时的。这么多的内容，任何人都不成能读完。那么一般人应该学哪些内容，就是一个很是不服凡的问题了。

数学的内容极为广漠，是以进修的内容（包罗教科书）的选择极为主要。这就是需要高程度的数学家来为中学生写书的原因。数学巨匠傅种孙、吴文俊等都翻译过国外的中学优异教科书。

此刻经常听到的一个标语是“减负”，然而良多人感觉越减越重。其实看看统编教科书确实内容的量没减小，在减失落一些内容的同时又暗暗插手了另一些内容。遗憾的是，减失落的多为精髓，增添的却满是垃圾。这也是统编教科书越来越令人感觉无聊的一个原因。当然，内容的选择只是一个方面，写作质量也很主要。此刻常见统编教科书中呈现数学错误，这当然要误人后辈的。

1960 年月，在华罗庚师长教师的倡导下，良多数学家为中学生写课外读物，出书了一套《数学小丛书》，有十余本。华罗庚师长教师身先士卒写了两本：第 1 号《从杨辉三角谈起》和第 3 号《从祖冲之的圆周率谈起》，后来又写了《从孙子的“神奇奥算”谈起》，此外还写了一些此外小册子，此中《数学归纳法》和《谈谈与蜂房布局有关的数学问题》后来也收入《数学小丛书》中。这些书的质量都长短常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是极好的中学生读物。遗憾的是此刻读这些书的人很少，连中学教师都很少有读过的。

若是一个同窗已经可以或许本身自力地进修数学，那么对于所读的书要有所选择，遴选本身感觉好的书。当然也可能选得不合错误，我本身就读过一本看上去很有意思的书，但读完后大掉所望。我曾经对一个同窗说：“你选读的那本书质量很差，不值得读。”那同窗反问道：“我不读怎么知道它很差呢？”你们感觉这个同窗的话有事理吗？我感觉很有事理，因为听别人的评价不克不及取代本身的评价，本身判定错， 吃了亏，获得教训，是当作长的不成贫乏的环节。

5 数学竞赛

数学竞赛是一种很是好的教育方式，它能激励学生的数学乐趣，发现人才，提高学生的本质，坦荡学生的眼界。此外，它能成立数学界与青少年沟通的桥梁，吸引数学家对青少年人才培育的投入，吸引学术界和社会对于数学成长的存眷等。

数学竞赛是一种学术性很强的竞赛，需要依靠数学家来组办，尤其是命题。我加入过多种中、小学数学竞赛的命题，深知这是难度很高并且很是辛劳的工作。

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛的命题尺度尤其高。为了一个标题问题，传授们要开会商班会商多次，并且绝大大都标题问题都不克不及经由过程。简言之，数学竞赛题的内容既要基于学生的课程内容，又不克不及落入俗套；既要有难度，又要简单；既考验聪明，又开导新的聪明；既不克不及超出学生常识根本的规模，又要有高的深刻的不雅点。

由此可以体味到昔时华罗庚师长教师和其他数学家做竞赛命题这件事有多辛劳。越是大的数学竞赛越是需要数学家。反之，若是在举办数学竞赛时排斥数学家，就是从底子上造假。

良多人跟我谈“奥数”我都拒绝回应。什么是“奥数”？其原本的意思是国际数学奥林匹克竞赛（IMO），但此刻良多人所说的“奥数”与 IMO 毫无关系，只是打着“奥数”的牌子开培训班和搞竞赛。此中有些讲究质量，但大大都只是将以往的数学竞赛题用作培训题或稍加改动用于竞赛。我就经常看到以往的华杯赛题被频频利用，甚至盗版。

我国自 1950 年月华罗庚师长教师倡导数学竞赛以来，数学竞赛在鞭策科学手艺成长和人才培育等方面作出了不成磨灭的进献。很多数学家介入数学竞赛，存眷中学教育，这些对我国的成长长短常贵重的。

在座的同窗们有良多加入过数学竞赛。你们可以回首一下，在竞赛中做过的一个标题问题对你是不是新颖的？是不是天然的？是不是有趣的？做了是不是有长进？做了今后是不是又曾用到？

6 用进修科学的方式

数学告诉我们科学的真理，它们深刻地揭露天然界的奥秘，在这方面它与物理、化学、生命科学等是一样的。我们来看几个例子。

例 1.勾股心猿意马理。直角三角形的两直角边长 a，b 与斜边长 c知足a^2+b^2=c^2。

例 2.圆的面积。直径为 r 的圆的面积为 πr^2。

例 3.加法心猿意马理。

例 4.代数根基心猿意马理。任何很是数复系数多项式必有一个复零点。

例 5.“费尔马大心猿意马理”。设 n 为大于 2 的整数，则方程 x^n+y^n=z^n没有非普通的整数解。

这些真理的表述都很是简单，使得人们很轻易理解和应用。可是它们都不是简单的常识或直不雅上可以看到的事实。

经常良多人利用一个数学心猿意马理但不知道或不懂得它的证实，这没有危险，因为数学家包管了心猿意马理的靠得住性。但能利用并不等于把握。这可能有潜在的问题。

数学中的深刻心猿意马理都是颠末良多人的持久艰辛摸索才发现和证实的，而根本数学研究与理论物理近似，都属于理论研究的规模。

由此可见，数学是科学，所以进修数学应该用进修科学的方式，就是说要理解科学道理，直至完全懂得；而不是用例如进修手艺或律例的方式。

数学的教育，毫不仅仅是一种常识的传布，而更是包含能力的培育和理念的成立。

就以识数而言，岂是熟悉 1, 2, 3, 4, 5, ... 那样简单。起首，需要经由过程上面所说的“拥抱天然”，物理地舆解数字符号的意义，这种理解还要经由过程今后所做的应用题进一步深化。进而要领会数的简单性质，从而对于天然数数有更深切的理解，而且从中培育计较和应用等方面的能力。直到完当作“我什么数城市数了”这一飞跃的时辰，才算完当作了识数的过程。

到这时辰，一小我已经深刻地舆解“数”是天然纪律，对此已有果断的信念，宇宙不雅已有悄然的改变，对于所碰到的问题会自发地从“数”的角度考虑，并且较着地比不识数时更“伶俐”了，这种“伶俐”完满是后天的。

熟悉天然数的过程归根结底是孩子本身完当作的。若是孩子没有乐趣，即没有熟悉天然数的欲望，无论若何灌注贯注也不克不及使他识数。

是以，“理解+记忆”的模式，对于数学教育是不合用的。

遗憾的是，良多数学教育几乎就是用手艺教育或律例教育的方式，甚至将数学看成教条。这样的教育尽管可以使一个孩子学完所有的教程，如记数划定、运算法例、多种应用题型等等，并且经由过程达标测验，却仍然没有使他“学懂”数学。

不时地会碰到一个家长兴奋地讲本身的孩子的数学才能：很小就能熟悉数字，4 岁就会做 1 万以内的加减法，背九九表，加入什么速算角逐获奖，等等。然而，这很可能危险了甚至毁失落了孩子学好数学的前途。

不免有人会反问：为什么必然要“学懂”数学呢？只要“会做”就可以经由过程测验了，达标了，未来也就可以工作了。然而，此刻人工智能成长得很快，不管多伶俐的人，与人工智能比速算，做选择题，甚至做套路题，都将完全不是敌手。有良多人由此断言人将被电脑裁减。然而，懂得数学的人不会被裁减，因为人工智能无论做得多快多好，仍是只会“做”而不“懂”数学。

如何才叫“懂”数学呢？这里举一个例子。

我在中科院和首都师大经常本家儿持研究生面试，加入面试的都是笔试达标的。我们从不问难题，一般是问你有什么学得好的（有自傲的），我们就从此中问个简单问题看看考生是否学懂了。例如考生说群论学得好，就让他举个群的例子。这样的“送分”题却经常有人答不上来。

哪怕只是初步学懂，也不至于连一个简单的例子都举不出来呀。

同窗们可以经由过程问本身这类简单的问题，来反思本身是否真的学懂了。

7 数学本质

在现代社会中，一小我平生中接管数学教育的时候是半斤八两长的。

现实上，幼儿一般在很小的时辰就起头接管数学教育。按我国现行的义务教育法，每个少年至少要上完初中，而接管数学教育也就要直到上完初中；良多地域已起头普及高中教育；而对于良多方面工作的需要，即使高中数学达标都还不敷，至少需要用到微积分。可以预料，我国公平易近平生中接管数学教育的平均时候，还会进一步增添。没有任何一个其他学科的教育时候稀有学这样长。

固然一小我需要学的数学这么多并且越来越难，但即使是一个小学生也可能有很好是数学本质，而中学生中有良多可以达到半斤八两高的数学本质。一小我的数学本质的标记不是数学常识的几多，而是数学理念的高度。

小学阶段培育数学本质的一个要点是靠得住性。在做数学题的过程中，要求越来越严酷，这是培育科学严谨性的第一步。若是一个小学生在解题过程中的错误都可以或许本身发现和更正，就是解题很是靠得住，在这一点上数学本质完全达标了。

中学阶段对于数学本质有更多的要求，包罗代数运算能力、空间想象力、逻辑性等，更高的要求是自力摸索解决问题的能力。

数学本质的晋升本家儿如果经由过程理念的晋升来实现的。理念的晋升，远比技巧的提高主要。在理念的晋升过程中，概念越来越抽象。抽象概念经常是具体概念的推广或晋升。在讲授中一个常见的误区是，先讲抽象概念，再应用到具体环境，这样合适逻辑次序，但对于进修可能并不合适，因为人的熟悉过程是从特别到一般，从低到高，经常是从具体到抽象，就是说抽象的概念需要经由过程大量具体的例子才能理解。

最后再指出一点：数学的教育出格需要“因材施教”，对于统一个问题，分歧的人很可能需要大不不异的进修过程。例如良多数进修题是没有“尺度谜底”的，出格是证实题，在好的环境下甚至可能没有两个学生的谜底完全不异，需要教师别离读懂和判定。就这一方面看，数学教育是很不轻易也很辛劳的。

参考文献

[1] 姜树生：谈数学教育的特别性 —— 兼谈若何处置数学与教育学的关系. 数学传递 2008 年第 4 期

[2] 姜树生：恐怖的幼儿数学教育（2011）

[3] 姜树生：李克强总理关于数学的讲话与社会反应（2015.4.）

[4] 姜树生：现行统编中学数学教科书有多烂（2016.11.）

[5] 李克正：怀想和发扬华罗庚师长教师对中国青少年数学人才培育的进献（2010.9.）

[6] 李克正：《数学的哲学意义》（首都师范大学课本 2011-2013）

[7] 李克正：关于初等几何习题（2018.5.）

[8] 莲溪：是谁夺走了美国人的数学能力？——美国百年数学战争演义

[9] 彭志祥等：《玩数学：小学数学课程整体转型的研究》

[10] 其故：得数学者得全国（返朴公家号 2019）

[11] 单墫：《数学竞赛史话》. 广西教育出书社（1990）

[12] 《数学小丛书》 1-18. 科学出书社（2002）

1 华罗庚：从杨辉三角谈起

2 段学复：对称

3 华罗庚：从祖冲之的圆周率谈起

4 吴文俊：力学在调集中的一些应用

5 史济怀：平均

6 闵嗣鹤：格点和面积

7 姜伯驹：一笔画和邮递路线问题

8 龚昇：从刘徽割圆谈起

9 范会国：几种类型的极值问题

10 华罗庚：从孙子的“神奇奥算”谈起

11 蔡宗熹：等周问题

12 江泽涵：多面形的欧拉心猿意马理和闭曲面的拓扑分类

13 常庚哲、伍润生：复数与几何

14 柯召、孙琦：单元分数

15 华罗庚：数学归纳法

16 华罗庚：谈谈与蜂房布局有关的数学问题

17 虞言林、虞琪：祖冲之算π之谜

18 冯克勤：费马猜想

[13] 咸道：致家长

[14] 严士健本家儿编：《面标的目的 21 宿世纪的中国数学教育》. 江苏教育出书社（1994）

[15] 尹裕：寻回夸姣的中学时代. 数学传递 2006 年第 1 期

[16] 尹裕：数学发蒙教育之我见（2013）

[17] 张景中、王鹏远：《小学数学尝试》

[18] 中国少年报社编：《华罗庚金杯少年数学邀请赛专辑》. 海燕出书社（1991）

作者简介

李克正

代数几何学家，首都师范大学特聘传授。中科院研究生院数学系本家儿任，中科院数学委员会委员，中科院主要偏向项目首席科学家。《 中学生数学》杂志本家儿编，《 小学生数学报》等报刊编委。海说神聊京市高考命题委员。

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