投影后面的数学，你了解多少？

金庸小说《天龙八部》里有这样一段情节：逍遥派的李秋水夜晚舞剑。月光经由过程湖面反射，将她的剑影投射到无量山石壁上。无量派掌门看到后，误觉得是仙女舞剑，试图从中贯通信息不全的剑法。这个有趣的情节涉及到一个几何概念：投影。本文的本家儿要目标就是以尽可能直不雅的体例标的目的读者介绍有关投影的数学。

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摄影与手电影：三维到二维的投影例子

良多人小时辰都玩过手电影，就是把手放在灯胆前，投射到墙上的影子会跟着你的手势转变发生各类有趣的图案。

你的手是三维空间中的物体，影子是二维空间（即墙面）上的几何物体。是以手电影的素质，从几何角度说，半斤八两于是将三维空间中的几何物体投影到二维平面中的几何物体。与此近似的，还有拍摄照片。现实上，照片也无非是将三维空间中的物体投射到平面（即相片）上。

将三维空间中的物体投影到平面上，往往会损掉失落良多信息。好比在上述的手电影中，若是你仅仅看墙上的影子，现实上是很难切当地判定出那是由一只手仍是两只手投影出来的，或者是否真的由人的手投影出来（也可能是其他物件投影获得）。这就申明投影会损掉失落原始物体的良多几何信息。我们前面提到的《天龙八部》情节也是如斯，逍遥派的一流剑法投影到石壁上损掉了良多信息，所以无量派掌门只能贯通到信息不全的剑法。

近似地，有一些操纵视觉技巧拍摄的照片，让你无法准确判定相片中两个物体的巨细关系或前后关系等等。其实背后的事理是不异的。

尽管投影会损掉失落部门信息，但另一方面，它也可能保留下良多主要的信息。何况研究二维图像显然要比研究三维图像简单良多。是以良多时辰，为了降低研究的难度或复杂度，我们经常采纳投影的方式来降低布景空间的维度，把几何物体压缩到更低维度的空间里来加以阐发。这也是为什么我们需要研究投影的一个原因。

空间曲线的投影

想象一下：你有一根滑腻的绳索，你要经由过程一个电灯胆将它投影到地面上，那么地面上的影子会是滑腻的吗？谜底凡是是否认的。不单如斯，绳索的影子有时甚至会呈现良多复杂的“结”（几何上叫做“奇点”）。好比下面两张图所显示的例子( o是电灯胆地点的位置，虚线暗示投影的光线):

上面左图中,R的投影点R’是一个奇点–凡是称之为“尖点”。最简单的尖点可以用方程x2+ y3= 0 来局部地描画，凡是叫做“通俗尖点”。右图中P1,P2 的投影点P’也是奇点，它局部看有点像十字架，我们凡是把它称作“结点”，可以用方程x2– y2= 0 来局部地描画。当然，我们还可以举出更复杂的投影图像的例子。限于篇幅，这里就不再具体介绍了。

在对一条曲线进行投影时，我们老是但愿影像曲线尽可能地接近原始曲线,这样做可以或许尽量保留住原始曲线的几何信息。最抱负的环境当然是：影子也是滑腻的。但正如前面所说，这一般是做不到的。三维空间到二维空间的压缩凡是会将曲线挤压出奇点。是以我们退而求其次，许可影像曲线上呈现一些奇点，但这些奇点要尽可能简单。别的我们还但愿这个投影几乎是1:1的，也就是说，绳索和影像上除去若干点外，两者之间的点要一一对应。

事实上，我们知道下面的经典结论：

任何空间曲线都可以经由过程合适的投影映当作平面上仅带有有限多个结点的曲线，并且这个投影在结点之外是1:1的。

经由过程上述投影，我们就能将三维空间中的曲线的大部门几何信息都保留下来。研究二维平面上的结点曲线显然要比研究空间曲线轻易得多，因为平面曲线可以用一个方程描述出来（作者注：严酷地讲，这里的曲线要求是代数曲线——就是可以经由过程多项式方程组界说出来的曲线），是以可以用我们熟知的平面解析几何的方式去研究它。好比说，任何一条曲线都带有一个决议其几何性状的数值量，叫做“亏格”——就比如某种基因。你要直接计较空间曲线的亏格一般比力麻烦。可是经由过程投影之后，空间曲线的亏格计较可以被归结到平面结点曲线的亏格计较，后者是很轻易的。

进一步想象一下，假如一条曲线落在更高维度的空间中，我们是否也可以将它投影到平面中呢？谜底是必定的。我们可以用数学上的手段，先将曲线经由过程投影压缩到三维空间中，并且我们还能包管在这种投影下，曲线的全数信息都被忠厚地保留下来（改变的仅仅是布景空间的维度）。这样，我们的问题又再一次归结到三维空间曲线的投影上。无论若何，正如上面所指出的，在把三维空间压缩到二维空间的过程中，我们凡是无法确保曲线不被挤压出结点。

触类旁通：高维几何物体的投影

我们此刻要把上一节的会商推广到更高维度的空间中去。这当然需要一些想象力。因为高维空间自己是很难像三维空间那样被直不雅、清楚地舆解的。你甚至可能会有疑问：是否真的有高维空间存在？这一点倒不必有疑问，其实有良多主要的几何对象都存在于高维空间中。我们先举几个经典的直不雅例子来申明一下。

例一、最闻名的例子是克莱因瓶。它是一个没有鸿沟、且只有一个面的曲面。

这个瓶子的瓶颈直接插入到瓶胆内，而且与瓶底的启齿毗连起来。上面的照片显示的是克莱因瓶的三维模子，并不是真正的克莱因瓶。因为真正的克莱因瓶的瓶颈并不会插破瓶壁进入瓶胆内，而是直接穿越进去。这一点显然无法在三维空间中实现出来—你必需在瓶壁上凿出一个洞才能把瓶颈塞进去。现实上，克莱因瓶必需放在四维空间中才能被准确地机关出来。

例二、下面三张图显示的曲面看似是两个圆盘，但它们却彼此穿越对方完美毗连起来。

在三维空间中，让两个圆盘互相穿越对方必然会导致曲面分裂，所以这个曲面现实上也不成能在三维空间中存在，上面的图像仅仅是它在三维空间中的模拟图像。可以用数学方式证实，这种曲面存在于四维空间中，它的完整图形和球面在拓扑意义上是一样的（粗拙地说，就是你对这个曲面充气，它可以鼓当作一个“气球”）。

近似的曲面还有良多，好比下图的曲面是三个圆盘彼此毗连起来。

这些曲面在三维空间中的模子现实上是它们从四维空间投影到三维空间获得的。这需要一些想象力。你得想象在四维空间中放一个电灯胆，然后光线把四维空间中的曲面投影到一面三维的“墙”上，那么它的影像就是我们看到的三维模子。这些模子老是会呈现一部门很奇异的“穿越裂缝”。好比克莱因瓶在三维模子中有一个被凿破的“洞”供瓶颈“穿越”进内胆—这个洞在四维空间中并不存在；其实例二中的两个圆盘彼此穿越的那条交壤线在四维空间中也不存在。为什么会呈现这种现象呢？直不雅上说，这是因为投影将四维空间压缩到三维空间后，会把曲面压坏失落。这就有点像是你把大房子酿成了斗室子，那么房子里的家具等等可能就容不下了，只能彼此挤压，以至于压坏失落了一部门。

其实这种“穿越”现象在手电影里并不罕有。试想一下，你竖起左手食指，用右手食指在左手食指后方从右至左横标的目的移动。这个时辰，在墙面上看到的影像是怎么样的呢？你会发现右手食指的影像穿越了左手食指的影像。我们之所以对这类景象的穿越现象不感应奇异，是因为二维和三维空间可以获得准确无误的直不雅理解。可是前面的例子涉及四维空间，所以此中的几何图形就很难准确地构思清晰。

更高维度的空间中的曲面是否也能投影到三维空间中呢？这个有趣问题和曲线景象很是近似，但有所分歧。起首，这样的曲面可以很好地被投影到五维空间中。这种投影不会挤压坏曲面，独一的改变仅仅是压缩了布景空间的维度。是以当我们把曲面投影到五维空间中，曲面所有的几何信息都能被很好地保留下来。（作者注：严酷地说，这里的曲面是代数曲面，就是可以用多项式方程组界说的曲面，读者可以不去管这些细节问题。后面不再出格声明。）

五维空间到四维空间的投影一般却无法包管曲面不会被压坏。可是我们可以选择一个恰当的位置放电灯胆，使得投影到四维空间的影像曲面上被挤压坏的部门是若干个点（我们把它们叫做“奇点”）且比力简单，局部都形如以下的样子。

然后我们再把这种带奇点的曲面进一步投影到三维空间中。只要灯胆位置选的恰当，曲面在三维空间中的影像被压坏的部门不会太糟糕，它大致有如下三种局部景象

三重点结点拧点

更一般的，一个高维空间中的维几何物体（严酷地说，是指代数簇，就是用多项式方程组界说的几何图形）都可以经由过程投影慢慢地映入到2r+1 维空间中，该投影发生的独一转变仅仅是压缩了布景空间的维度，并不损掉几何物体的所有信息。

有限投影

前面我们考查了若何把一条曲线投影到平面里，若是进一步把平面曲线投影到直线（一维空间）上，会有什么现象呢？这里举几个例子来看一下。

例三、球极投影

我们在圆圈的海说神聊顶点放电灯胆，朱颜色的直线代表光线。这个投影把圆圈上每个点(除了海说神聊顶点外)独一地投影到直线上的某个点，反之亦然。若是我们在直线外添上无限远点∞，那么海说神聊顶点N刚好对应了∞。这样，在上述投影上，圆圈和扩充直线间的点一一对应。

例四、二次投影

我们把电灯胆移到圆心上，此时的投影与前一例有所分歧。你会发现，过点光源O的每条光线都经由过程圆圈上的一对对径点，并将它们投影到直线上统一点(好比P1,P2经由过程一条光线投影到P’)。是以这个投影是2:1 的，我们简称其为二次投影。

一般说来，曲线到直线（也就是一维空间）上的投影都是有限多个点映到统一个点。这种现象也可以推广到曲面景象。一个曲面也能投影到平面（二维空间）上。这里也举几例。

例五、曲面的二次投影（红虚线代表光线）

对平面上的一般点（好比图中P’点）而言，它都曲直面上的两个点（好比P1和P2）投影下来获得的影像。是以这个投影也称为二次投影。不外并非所有的影像点都知足这个性质。好比图中直线R’每个Q’点，它只由曲面上独一的点Q 投影获得。我们凡是把这种点称作“不合点”，而把不合点的调集 R’称作“不合轨迹”。

近似的二次投影还有

此中的不合轨迹是两条订交的直线。

例六、三次投影

和二次投影近似，对平面上一般的点而言，都是由曲面上三个点投影下来获得的影像。但有些点却并非如斯。好比图中Q’ 点是由两个点Q1 和Q2 投影获得，此中在 Q1四周，这个曲面的局部投影是1:1 的；在 Q2四周，曲面的局部投影是二次投影。T’ 点则由独一的点 T投影获得。这些点同样叫做不合点，它们全体构成的调集叫做不合轨迹。这条不合轨迹是一条平面曲线，带有尖点T’ 。

一个经典的结论告诉我们：

若是我们将电灯胆放在适合的位置上，那么曲面到平面的投影可以节制得很好。具体地讲，在这样的投影下，曲面上每个点四周的局部投影要么是到1:1 的，要么是二次投影（例五），要么是三次投影（例六）。

是以不合轨迹是一条很特别的平面曲线，它可能有一些奇点，但这些奇点要么是结点要么是尖点（见第三节会商）。这种投影凡是叫做一般投影。

曲面一般投影的性质

我们继续上面的话题。考虑曲面到平面的一般投影。此时不合轨迹的奇点只有尖点（cusp）和结点（node），其他部门当然都是滑腻的—就是说摸上去很滑顺，没有锋利的部门。

一个有趣的问题是：

什么样的平面曲线才能作为某个曲面的一般投影的不合轨迹？

这现实上是一个很坚苦的数学问题，它被称作黎曼的存在性问题。有许很多大都学家曾经考虑过这个问题，而且在一些环境下获得了良多标致的结论。好比，假设不合轨迹有 c个尖点，n 个结点, 而且是 d次的（即由 d次方程界说），人们发现如下结论：

（1）c 必是3的倍数，n 必是4的倍数；

（2）d2-6c ≤ 2n＜d2-5d+8

黎曼存在性问题在曲线景象也有描述，而且已经有了比力完美的解答。

另一个有趣的问题是：

是否可能存在两个分歧的曲面到平面的一般投影，它们具有不异的不合轨迹？

这个问题叫做Chisini猜想，由Kulikov于2008年彻底解决了。他的结论是：除了几个特别的例子之外，一般投影由不合轨迹独一确定；换言之，除了那几个特破例，不成能存在两个分歧的一般投影，它们具有不异不合轨迹。

这是一个很有价值的结论。因为这意味着，曲面投影的几何信息可以或许由平面上的一条曲线的几何信息完全确定下来（作者注：平面中挖失落这条曲线后所剩下的部门，包含了良多主要的几何信息）。一般说来，研究曲线要比直接研究曲面便利得多。由此也可见投影的用处是很大的。

竣事语

这篇文章的素材改编自笔者的数学系青年教师论坛演讲稿。当初写这一讲稿的目标是为了让其他专业的教员也可以或许轻松领会代数几何的部门课题，为此特意插手了良多图片来帮忙他们理解。可是要以通俗的体例介绍代数几何始终是很坚苦的。为了追求某种通俗性，我们不得不抛却某些严酷性以及若干手艺性的细节。好比我们会商的对象是复数域上的代数簇，可是这些名词术语会让大大都人望而却步，所以我们在文章中尽可能避免这类术语，而把它们笼统地称为“曲线”、“曲面”或“高维的几何物体”等等。最后笔者要申明一下，文中的一些图片直接取自于百度图片库，另一些则是笔者本身画的。

作者：华山派小6