数学大师布尔甘：在连续统迷宫奇幻探险

让·布尔甘（Jean Bourgain）是这个时代最具独创性、最多才多艺的阐发学巨匠之一，他1994年获菲尔兹奖，2010年获邵逸夫奖，2017年获冲破奖。数学家陶哲轩曾经走到布尔甘在普林斯顿高档研究院的办公室门前，却不敢敲门拜访，他曾经说，本身的早期工作可归纳综合为：“读让的论文，学会他的技巧，测验考试做些改良。”

布尔甘于2018年12月22日归天，他对整个数学学科做了凸起进献。在第500篇论文颁发之际，布尔甘亲自选心猿意马了要展示的两个当作果，此中一个即是这篇文章要介绍的离散化和积不等式，这是布尔甘在持续统迷宫中探险的当作果。在持续与离散的不竭切换中，我们大要可以体味到布尔甘曾经体验到的、在数学中思惟自由飘动的乐趣。

撰文 | Alexander Gamburd

翻译 | 唐璐

审校 | 赵宿世凡

人类心智有两大迷宫：一个是持续统的机关，另一个是自由的素质，两者来自统一泉源——无限。

——冯·莱布尼茨男爵

第二次宿世界大战时代，冯·诺依曼在设计核兵器时，熟悉到阐发方式不足以完当作这项使命，处置持续介质力学方程的独一方式是将它们离散化。......冯·诺依曼在战后将精神都用在了这件工作上。

——彼得·拉克斯（Peter Lax）

序曲

布尔甘男爵，普林斯顿高档研究院（IAS）数学院IBM冯·诺依曼讲席传授，是我们这个问题重重的时代最具独创性、最灵敏、最多才多艺的阐发学巨匠之一，值得我们致以最高尚的敬意。

让·布尔甘（Jean Bourgain，1954-2018）| 图片来历：Brigitte Lacombe/Breakthrough Prize 2017

他果断不愿接管为庆贺他60岁生日召开会议的建议，不外大师仍是在他的第500篇论文颁发之际进行了一次聚会——2016年5月21-24日在普林斯顿高档研究院召开了名为“阐发学及其影响：让·布尔甘的当作就及其意义”的会议。会议陈述展示了布尔甘工作的深度和广度，以及对整个学科的凸起进献和深远影响。布尔甘亲自选心猿意马了会议海报上展示的两个当作果。阅读安德烈·纳哈莫德（Andrea Nahmod）2016年颁发在《美国数学会传递》上的出色论文可以较着感触感染到第一个成果的美和力量。本文则是简要阐释第二个当作果——离散化和积不等式（discretized sum-product inequality）——的来历、性质和成长。

让·布尔甘选心猿意马的两个主要公式，下面的被称为布尔甘离散化和积不等式，也是本文的本家儿题。

按照汗青挨次，数学的三大分支是几何、代数和阐发。几何本家儿要归功于希腊文明，代数发源于印度-阿拉伯，阐发（或微积分）则是由牛顿和莱布尼茨开创，并在现代大放异彩。

——迈克尔·阿蒂亚爵士

（Sir Michael Atiyah）

《数学赏识：论数与形》（Von Zahlen und Figuren — On Numbers and Shapes）是一本广受接待的数学科普书的名字，这个书名表现了一种遍及的观点，即数学是代数和几何的联婚。托尔斯泰有句名言，“幸福的婚姻都是相似的，不幸的婚姻各有各的分歧，”尽管如斯，这个幸福的联婚也并不是没有矛盾（也许，幸福的婚姻也各有各的分歧，二分心智可能就属于这样的联婚）。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在1939年曾说过，“现现在，拓扑学天使和抽象代数魔鬼正在争夺每个数学范畴的魂灵。”

这种矛盾表现在阐发函数发展的膏壤——实数系——的两面性中，就仿佛古罗马神话中两面神的脸朝标的目的两个分歧的偏向：一方面，它是对加乘运算封锁的域；另一方面，它是持续的流形，各部门慎密相连，以至于无法彼此切确隔离。实数的一面是代数，另一面是几何。连分数就是对持续统进行离散化的一种更素质的几何形式；因为缺乏针对它们的适用加乘算法，从而催生了基于通俗（例如十进制）分数的离散化。

让·布尔甘设计的徽章，2015年7月比利时当局授予了布尔甘男爵头衔。

牛顿在发现微积分时，本家儿要的起点是“动力学”（力、加快度），失落落在他头上的苹果也表现了这一点；莱布尼茨则似乎对此刻被称为大天然的分形几何的工具更感乐趣。“想象一个圆；在圆里面画三个彼此相切且半径尽可能大的圆；在这此中每个圆中，以及它们之间的每个空地中，继续画圆，想象这个过程无限继续下去。”莱布尼茨所说的四圆相切的机关也呈现在了布尔甘的男爵徽章上。莱布尼茨将直线界说为“曲线，其任何部门都与整体相似，而且这种性质不仅表现在曲线之间，也表现在调集之间”，这反映了持续统的分形特征：康托集*就合适莱布尼茨的界说。[1]

*康托集由不竭去失落线段的中心三分之一而得出，即起首从区间[0,1]中去失落中心的三分之一，然后在留下的线段[0,1/3] ∪ [2/3,1] 各去失落中心的三分之一，如斯直至无限。

古希腊几何学家阿波罗尼乌斯（Apollonius）曾断言，给心猿意马3个彼此相切的圆，刚好会有两个圆与它们都相切；给心猿意马4个彼此相切的圆，则可以机关4个新的圆，使得每个圆与本来的此中3个圆相切。如斯反复直到无限，就可以获得无限圆聚积（Infinite circle packing）。而若是最初给心猿意马的4个圆的曲率为整数，那么所有的聚积圆都将具有整数曲率，从而形当作整数阿波罗尼乌斯聚积（Integral Apollonian packing）。这也是离散化和积不等式的一个应用 | 图片来历：Alexander Gamburd

从广义上说，动力学可以被认为是对转变的研究，转变所处的根基（物理）布景是时候。康托集和持续统则与时候无关，即在时候中处于静态，可是“从某种不雅察角度上”它们也存在一种（几乎）“同样根基的”转变，即以改变放大比例和“缩放”的形式表示的转变。布尔甘对离散化和积不等式的证实的“多标准”特征就表现了这一点。

在序曲竣事的时辰，趁便指出一下，布尔甘选择的两个当作果都不是等式，而是不等式，并作如下评论：

若是说代数凡是被认为是对等式的研究，则阐发的焦点也许可以认为是不等式或估量，是比力两个量或式子的巨细。爱因斯坦发现没有什么的速度能比光速更快，就是不等式的例子。不等式“2^X弘远于X”可以说巧妙地涵盖了P与NP问题*（对于有限的X来说是如斯）和康托持续统问题**（将X视为第一个无限基数）。中学就学过的一个初等不等式断言，两个正数的算术平均值毫不会小于它们的几何平均值。在这两个极值之间，有各类各样主要的估量值。这些估量值表现和量化了底层问题的一些微妙方面，往往很难证实。后面我们将看到，对于离散化和积不等式，这种底层问题是持续统的代数性质和（分形）几何性质之间的矛盾的焦点。分形（fractal）一词源自拉丁语fractus，意思是破裂分化；代数（algebra）源自阿拉伯语al-jabr，意思是破裂的部门从头连系。

*P与NP问题中的P是指可以或许用算法在多项式时候（Polynomial time）内解决的问题，NP则指那些无法快速解决，但若是供给了一个谜底，可以或许用算法在多项式时候内验证的问题。P与NP问题问的是，P=NP是否当作立，即一个可以或许在多项式时候内验证的问题是否也能在多项式时候内解决。

** 持续统假设由康托提出，是说在天然数基数与实数基数之间不存在其他基数，实数的基数严酷大于天然数的基数。

1 发源：挂谷-贝西科维奇问题（Kakeya-Besicovitch Problem）

希尔伯特有一句广为人知的名言：“若是你能标的目的在街上碰到的第一小我诠释清晰一个数学问题，这个问题就很好。”若是让挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1917年，大战正如火如荼，他在一个岛国写了一篇论文）来标的目的随便一条街上的某小我诠释这个此刻以他的名字定名的问题，可能会是这样：

让你负责防卫一个岛屿，岛上有高卑陡峭的山岳，你的使命是以最低的财务支出在平展的山顶采办一块地盘，而且这块地要具有以部属性：让一门长度为1的大炮能指标的目的任何偏向。

一个较着的解是，直径为1、面积为π/4的圆。挂谷宗一给出了一个解，面积是这个较着解的一半。他提出的解是三尖内摆线，内切直径为1/2的圆。同年，在彼尔姆（1940-1957年间更名为莫洛托夫；此刻仍是彼尔姆），十月、十一月间的俄国/苏联革命时代，贝西科维奇（A. S. Besicovitch）将面积上限削减到了几乎为零。

固然平面（二维空间）中的挂谷集的测度为零，但它的分形维数为2。[2]有一个根基猜想是，在高维空间中，同样的现象也当作立：例如，三维空间中包含指标的目的所有偏向的线的调集具有分形维数3。这个猜想是和谐阐发中很多问题的焦点，一向是我们这个时代一些最精采的阐发学家深切研究的本家儿题，布尔甘在1999年取得了重大冲破，他将挂谷问题与算术组合联系起来（译注：和积不等式在2004年布尔甘与Nets Katz、陶哲轩合著的研究挂谷问题的论文中给出）。

2 和积现象和持续统迷宫

算术组合中的一个根基成果是“和积现象（sum-product phenomenon）”，其根基性质可以简单描述如下。当研究从1到9的数字的加法和乘法表时，人们可能会注重到乘法表中的数字更多。大致来说，这与从1到9的数字组成算术级数的事实有关。若是你将一个组成算术级数的调集（或它的子集）与其自身相加，它不会增加太多；若是你将一个组成几何级数的调集（或它的子集）与其自身相乘，它也不会增加太多。然而，整数的子集不克不及既是算术级数又是几何级数，所以它在与自身相乘或相加时城市增加。这可以暗示为命题|Α + Α | + |Α·Α| ≥ |Α|^1+τ对任何有穷实数集都当作立；此中|Α|怀抱调集的巨细，即调集中元素的数目。

布尔甘离散化和积不等式N (Α + Α, δ) + N (Α· Α, δ) > N (Α, δ)^1+τ处置的是持续统的无限子集，式顶用“测度熵（metric entropy）”N (Α, δ)怀抱调集的巨细，测度熵是笼盖Α所需的直径为δ的球的起码数目。简单说，这个不等式说的是，对于持续统的肆意子集，在暖和的假设前提下，当它与自身相乘或相加时，分形维数会随之增加。

3 扩展本家儿题中的的离散和持续转变

扩展图（Expander）是计较机科学中普遍利用的高度连通稀少图。高连通性对通信收集显然很主要。而最轻易理解稀少性需要性的场景也许是大脑神经收集：因为轴突要占有必然的体积，是以轴突的总长度不成能跨越大脑的平均容积与轴突横截面积之比。事实上，这就是睁开图初次隐含呈现在巴尔茨丁（Y.M. Barzdin）和柯尔莫戈洛夫（A. N. Kolmogorov）1967年的论文中的布景。[3]

此刻，根基上有两种构建数学布局的原材料来历：随机性和数论。随机正则图很早就被发现是扩展图。最优扩展图的显式机关——拉马努金图（Ramanujan graph）——利用了自守形式理论中坚深的数论成果，将扩展图机关为群的凯莱图（Cayley graph）[4]，此中涉及一些很特别的生当作器选择。

具有80个极点的富勒烯（C-80）及其立方图（左）。在图论中，正则图是每个极点都具有不异数量邻人的图，即每个极点的度不异。而每个极点的度数均为3的正则图被称为立方图。

扩展图是高度连通的稀少图，它一方面具有高度连通的特征，另一方面又是稀少的。扩展图的拓展系数反映了其连通性，例如图中暗影部门的子集的扩展系数为1/4。

凯莱图是编码群的抽象布局的图。一个群相对于一个固心猿意马生当作器的凯莱图，其极点是群的元素，而一个元素的邻人是经由过程与所有生当作器相乘来确定的。| 图片来历：Alexander Gamburd

当我1994年刚起头攻读博士学位时呈现的一个根基问题是，这种扩展在多大水平上只是群自己的属性，与生当作器的选择无关。我对这个问题着了迷，在彼得·萨纳克的指导下，我在1999年的博士论文中取得了部门进展。2005年秋，我与布尔甘合作引入了一些刚成长出来的与和积现象有关的加性组合学东西（译注：布尔甘和积不等式），最终针对很多景象解决了这个问题。

从头至尾奏

标的目的对互联网已习觉得常的人们诠释布尔甘的当作就显著和不凡的意义时，我们可以强调它们在数学物理、计较机科学和暗码学中的应用，这些在现代糊口中有庞大的适用价值，尤其是使得互联网通信当作为可能。它们的精妙、斑斓和艰深似乎很难用“泛泛的说话”来表达。此时此刻，也许我们该当提醒本身，收集新人类固然装备了（源自冯·诺依曼的）各类数字设备，但也仍是人类，仍然沉迷于用Twitter表达简练而艰深的洞见：面临着似乎虚幻、不真实的对象（例如实数轴），布尔甘在持续统迷宫的奇幻探险代表了人类心智伟大卓越的当作就。

2005年9月，我女儿方才出生六个月，我在IAS拜候并介入亚历克斯·卢博茨基（Alex Lubotzky）本家儿导的“李群、暗示和离散数学”项目[5]时碰到了让。我不记得切当的日期，但记得时候：那时是凌晨2点至3点之间。在给女儿换尿片后，我睡不着，前去西蒙尼会堂，碰到了正去藏书楼的让。在模模糊糊的状况下，我壮起胆量和他搭话。到天亮时，这个困扰我长达十年的问题终于在让的办公室里风声鹤唳。[6]

从左到右：亚历山大·甘博德（Alexander Gamburd）、彼得·萨纳克（Peter Sarnak）和让·布尔甘（Jean Bourgain）

2005-06年是我生射中最欢愉的一年，这一年我往返于以赫尔曼·外尔定名的小径，外尔的不雅点是，“数学不是门外汉所认为的严酷和无趣的公式；相反，我们在数学中恰好站在反映人类自身素质的局限和自由的鸿沟上。”

本文中描述的布尔甘的大部门工作是在IAS完当作的。IAS的徽章是一幅恬静、优雅和古典的装饰艺术作品，描画了两位优雅的年青密斯，一位着衣，一位裸身，站在一棵结了良多果实的树旁。徽章设计的典故出于济慈（John Keats）的《希腊古瓮颂》中最后那个闻名的对句（译注：真便是美，美便是真），他的不雅点是，“每种艺术的卓越之处在于其强烈性，可以或许使所有的令人不悦从与美和真的紧密亲密联系关系中消逝。”

IAS徽章

在这篇文章中，我测验考试捕获布尔甘艺术的卓越之处，最后让我们经由过程引用他在获得2017年数学科学冲破奖（Breakthrough Prize in Mathematical Sciences）时的谈话来体味一下他强烈的感情：

当你碰到一个被遍及认为无法解决的问题时，凡是你甚至都不知道要到哪里去寻找谜底。处于那种景况下，我们就像傅立叶一样被困在戈壁中，完全迷掉了偏向。而一旦你洞悉本相，你就会在俄然间逃离戈壁，一切都揭示在你面前。这时我们会感应很是兴奋。这是最好的时刻。之前费尽心思却毫无进展的所有疾苦都是值得的。

作者介绍

亚历山大·甘博德（Alexander Gamburd），IAS数学院当作员（2007-08，2005-06），纽约城市大学首席数学传授。

注释

[1] 莱布尼茨还写了第一本组合学教科书《组合的艺术》（Dissertatio de arte combinatoria），并发现了二进制记数法，这使得现代计较机当作为可能，并将在布尔甘摸索迷宫的论证中阐扬主要感化。莱布尼茨的第一个作品集在1735年由Rudolf Erich Raspe编纂出书，这位作者后来以《孟乔森男爵的奇幻探险》（Singular Adventures of Baron Munchausen）著名。

[2] 若是A曲直线，很轻易看出N(A, δ)是δ-1阶。若是A曲直面，则N(A, δ)近似为δ-2阶。这就开导了将肆意调集的分形维数界说为N(A, δ) ~ δ-d中的数字d的设法。

[3] A. N. Kolmogorov & Y. M. Barzdin, On the realization of networks in three-dimensional space, Selected Works of Kolmogorov, vol. 3, Kluwer, Dordrecht, 1993, 194–202[3] PSL2(Fp)在p = 5时与尺度生当作器相对应的凯莱图是巴克球（C60）。

[4] https://mathinstitutes.org/highlights/expander-graphs

[5] 布尔甘的日常习惯如下。他会在离餐厅关门不到5分钟的时辰赶到餐厅吃午餐，鄙人楼时会找人一路用餐（具体找谁本家儿要取决于他们与让今朝正在研究的问题的专业相关性）。午餐后，日落前，他办公室的门是半开的。晚上9点摆布，让会带一瓶红酒（凡是是梅多克）去吃晚餐，之后再来一杯双倍特浓咖啡（凡是是在小宿世界咖啡馆），然后回到办公室，给老婆和儿子打德律风，然后快步走一走，绕着爱因斯坦大道走5圈摆布。午夜和日出之间，他的办公室凡是都关着门。他手写的笔记（气概像莫扎特，不像贝多芬）根基不消改，部门原因是在用餐和散步时，他会想好回到办公室后写些什么。