得数学者得天下！理解数学，从纠正对数学的偏见开始？

若何理解数学？从改正对数学的成见起头——得数学者得全国

整个宇宙就存在于一杯葡萄酒中，这是诗人的话语。物理学家费曼就此评论道：若是我们眇乎小哉的有限智力为了某种便利将这杯葡萄酒——这个宇宙——分为几个部门：物理学、生物学、地质学、天文学、心理学等等，那么要记住，大天然并不知道这一切。

数学这门古老的学科履历了数千年成长，在近一百多年来更是开拓出浩繁分支，分手出多种应用学科。而一般人所学的则是约400年前的解析几何、300多年前的微积分、200多年前的线性代数，更新一些的可能包罗180年前的群论、120年前的拓扑学和数理逻辑。再后来的数学多被认为过于深邃抽象，难以得其门而入。

然而，这篇文章指出，这种印象不外是不妥教育导致的成见，数学学科虽多，但其理则一，数学中的每个台阶都是始于一个原始的理念，既不深邃也不复杂，都是研究来自天然界的问题。

撰文 | 其故

1.对于数学的遍及成见

当今的教育使得一般人都学过一些数学，并且进修的时候半斤八两长（参看 [4] ），这使得良多人认为本身懂得数学，甚至妄谈数学。但一般人所学的最新的也才是二百多年前的数学，往往对于近二百年来的数学全无所闻，所以不免对于数学有曲解甚至成见（参看例如 [5] ）。

妄谈数学的人并非完全不懂数学，若是完全不懂倒不至于妄谈了。问题在于近一百多年来数学有了庞大和底子的成长，一方面有了更深刻的理念，另一方面其应用范畴极大地扩展了。若是对此完全不领会，那么对于数学的观点不免过于狭隘，的确可以说是管窥蠡测了。

教科书中“数学是研究数目关系和空间形式的科学”（参看 [1] ）这个教条，也是导致良多人对于数学有成见的一个原因。这个说法始于恩格斯，后来列入前苏联的教科书中，继而进入我国的教科书。恩格斯是唯物本家儿义者，他否决将数学看作纯粹意识的不雅点，认为数学所研究的是客不雅宿世界，而受时代的局限他还不领会群论（即使高斯也难以接管），所以从哲学上这对于恩格斯是最好的理解了。但现代人应该知道，数学的范畴很是宽广，没有鸿沟，是不克不及由研究对象来界心猿意马的。即使俄国人也早已摒弃了这个教条。

多年前在数学界的一个会议上有专家呼吁，在数学界的陈述（如成长规划）中不要再写“数学是研究数目关系和空间形式的科学”这样的话，因为它不仅过时、错误，并且对于数学的成长晦气。这个建议获得与会者的一致附和。但在数学界不克不及本家儿导的范畴，这个教条仍在起着误导感化，使得良多人对于数学的领会局限于一个很狭小的规模，更不会本家儿动地将数学应用于以往不曾属于数学的范畴。

如 [5] 中所看到的，良多网平易近认为“数学根本就是初等数学+高档数学+算法+奥数”，“数学对良多人来说是死板的、深邃的、抽象的”，甚至是乏味的、无用的、无聊的。这是教育垄断造当作的严重后果。

陈省身师长教师说过：“数学是一切科学的根本，数学的练习遍及的有效。”但对于数学有严重成见的人是不成能理解这两句话的。

这些成见来自多方面的原因，此中一个主要原因是教育方面的掉误。而改正成见对于数学教育是一个不克不及回避的使命。

2对于数学的成见的布景

如上所说，良多人对于数学的严重成见，是由不妥的数学教育造当作的。

数学教育有其特有的纪律（参看 [4] ），不仅进修时候长，应用普遍，并且需要激励乐趣，培育科学的严谨性，因材施教，以及晋升科学理念。

数学教育范畴有一个共识，就是一个现代人进修数学的过程大体上沿着数学成长史的过程，近似于一个胎儿当作长的过程大体上沿着生物进化的过程。胎儿的发育过程大体要颠末从单细胞生物到人类的进化过程，要颠末近似原活泼物、腔肠动物、脊索动物、灵长类等各个阶段，最后才长当作人类的样子。而进修数学的过程，要先走过稀有万年汗青的识数过程，再进修古典（稀有千年汗青的）代数和几何，再进修更近代的内容，直到费尔马和笛卡儿成立的解析几何，而后可以进修微积分及更近代的数学。识数的时候半斤八两长，可能在数学的进修中占泰半，这和数学史上人类识数的时候长是一致的。

是以，判定一般人（尤其是中学生）的数学程度的根基尺度是汗青的，即看他懂的是哪个时代的数学。

现在的数学文献浩如烟海，良多人轻易有一个错觉，就是数学的成长就是数学研究当作果的堆集。那么，当作果越积越多，迟早会使得任何人都不克不及周全把握，甚至只能懂得此中很狭小的一部门。其实否则，当作果的堆集是华罗庚师长教师所说的“由薄到厚”的过程，但他还说过有一个“由厚到薄”的过程，这生怕不是良多人都大白的。

对于数学，良多人崇敬技巧高的人，甚至看不起技巧不高的人。良多人觉得数学是伶俐人的游戏。

其实数学的成长偏向，是老的数学越来越当作熟，越当作熟就越简单，越轻易，越接近通俗人。这个过程，本家儿如果经由过程理念的晋升来实现的。

举例说，中学平面几何中有良多习题是很难的，即使很好的学生也未必都能做出来。这样的习题对于熬炼学生摸索息争决问题的能力是有益处的，但良多习题难在对解题方式的苛刻限制，即只能利用平面几何教程中教学过的方式。若是学领会析几何，对此中良多习题就可以成立坐标系经由过程计较来解决，不需要什么技巧，难度也大为降低，通俗学生都能做出。即使对于很好的学生，像上面那样做平面几何难题也应适可而止，有精神和乐趣可早些进入解析几何，那么以前学的良多方式和技巧即使忘失落也没有关系，不需要全都记住而当作为繁重的承担。这就是“由厚到薄”的过程。

再举个例子：球的体积如何算？在高中教科书中是用祖暅道理计较的。祖暅道理自己就不很轻易懂，而操纵祖暅道理计较球的体积，需要半斤八两高的技巧，现实上大大都高中生没学大白。更大的问题是，若是换一个计较体积的问题，还得再追求新的方式，无法包管必然能算出来。可是，若是学了微积分就会算良多面积、体积，此中球的体积只是一个很轻易的问题。这样，学了微积分就可以“忘失落”良多计较面积、体积的初等方式和技巧，这也是“由厚到薄”的过程。

不幸的是，良多中学教师所教的，良多中学生所学的，是在“初等”条理上频频操练，把握“题型”和技巧等（都属于“由薄到厚”的规模），然而这样的学生无论“题型”把握了几多，技巧有多高，比起一个学好了微积分的学生仍是差一个档次。简言之，前者的数学程度还在牛顿的时代之前，后者已进入近三百年。

由此可见，良多中学生，尤其是伶俐学生，将大部门时候和精神花费在进修初等“题型”和技巧上，是很大的华侈，有那功夫，数学阐发、高档代数等更高的台阶都能上去了。不仅如斯，还常见他们很猜疑，问诸如“数学有什么用”之类的问题，因为他们做的良多习题，学的良多“题型”和技巧，并无应用布景（除了测验以外）。反之，例如学了微积分就会算良多面积体积，天然就不会问“数学有什么用”了。

理念的晋升，远比技巧的提高主要。以解析几何为例，若是一个学生颠末进修，深刻体会了代数与几何的内涵联系，那么在多年后即使健忘了教科书的大部门细节，碰到问题仍能本家儿动地将代数与几何问题彼此转化，其立异能力毫不是仅把握了良多技巧（即使不忘）的人所能比的。

还有一个对于数学的曲解源于“高档数学”这个词，其实它只是高档黉舍非数学专业的根本数学课程的名称（这个名称当然不得当，国外都不消，但国内沿用了多年很难改），并非“高深”，更不是“最高”。其内容为大约三百年前的数学，本家儿如果牛顿（1643-1727）时代的数学，最高的也不跨越欧拉（1707-1783）时代。某些非数学专业的学生还需要进修更深一些的数学，例如电工专业的学生要进修拉普拉斯变换、傅里叶变换等二百年前的数学。

说到这里可能有些读者望而却步：需要学的数学这么多并且越来越难，怕是这辈子没法学好了。其实否则，即使是一个小学生也可能有很好的数学本质，而中学生中有良多可以达到半斤八两高的数学本质。数学学科虽多，但“其理则一”，都是研究来自天然界的问题，在这一点上与其他科学并无分歧，所分歧之处是其绝对真理性（参看 [8] ）。一小我的数学本质的标记不是数学常识的几多，而是数学理念的高度。下面我们会对此具体诠释。

3数学中的“台阶”

现代数学的规模很是广，国际数学家大会有19个分会场，就是说即使粗分也有19个风雅标的目的。要想周全领会这些偏向当然很不轻易。固然数学有良多分支，但“其理则一”，每个分支只是在某一个方面出格深切，但毫不是孤立的，不该将数学看作一些互不相关的分支或课题。若是对数学的某一个偏向有了深切领会，形当作很好的数学理念，那么就有利于理解其他偏向。

数学的成长不仅是内容的丰硕，并且有理念的晋升。每个主要的新理念会促进数学的整体成长，影响到良多数学分支甚至数学以外的学科。在根本数学方面，这样的新理念有：约 400年前的解析几何，300多年前的微积分，200多年前的线性代数，180年前的群论，120年前的拓扑学、数理逻辑、李群，80年前的整体微分几何、概率论，此后更多，有复几何、模空间、动力系统、算术代数几何、几何阐发等等。

由此，进修数学不该仅仅是常识的堆集，还应慢慢提高哲学理念，如一个一个地上台阶。

解析几何、微积分、线性代数都是近代数学的“台阶”，近二百年来这样的台阶更多，下面选几个做简单介绍。

1 群论

“群”是1820年月伽罗瓦在研究代数方程的一个坚苦问题时发现的。群论在解决这个难题时的感化充实显示出它的壮大，逐渐引起数学界的遍及存眷。由此开创了数学的一个全新范畴，其汗青意义是无论若何估量也不会过度的。

由今天的目光看来，群的底子布景是物理的活动。在群论发生之前，尽管活动是数学不克不及回避的一个课题，但还没有一个系统和壮大的东西。群论的发生不仅使数学有了新的成长偏向，并且有了新的理念，从而使群论渗入到数学的其他范畴，改变了整个数学的面孔。一个典型的例子是克莱因的“爱尔兰根纲要”，将变换群看作几何的焦点课题；另一个典型例子是索弗斯·李将群论应用于微分方程的研究，发生了李群论。

同时，群论也进入了数学之外的范畴，当作为物理、化学等学科的主要东西和焦点课题。

由此可见，不懂群论的人对于数学的理解，与现代数学其实相距太远，所以不免偏颇。

趁便说一点题外话。此刻中学数学教程中的“调集”概念，原本是因为群论的需要而发生的，因为群既不克不及诠释为“数目关系”也不克不及诠释为“空间形式”，只能诠释为“调集”。但群是无法回避的，因为它在数学中处于焦点地位。由此调集论也就成长起来（现实上到20宿世纪才当作熟），进而当作为整个数学的一种便利的说话。

在中学数学教程中是否应该讲“调集”，其实是很值得思疑的。其一，引入调集的说话不外是为了授课便利，但可能是教员便利了学生苦了（因为“调集”例如程、直线等更抽象，因而对于良多学生更费解）；其二，调集概念对于进修中学数学的各课题都不是必需的（早年的中学数学教程中都没有调集，但同样可以讲得很好，并且并不影响学生的数学本质）；其三，若是没有本色性的应用，花了良多时候进修“调集”却不克不及获得什么现实的益处，是很大的华侈（学生质疑“有什么用”的一个本家儿要对象就是调集）；其四，在中学课程中不成能系统地讲清调集论的根基概念，至多只是“朴实直不雅”罢了，但这样的直不雅是不严谨的（在这方面，数学界也只是在罗素发现“调集论悖论”后才大白）。

2 拓扑学

拓扑学是 1900年前后以庞加莱为首的法国粹派成立的，研究持续变形下的空间整体布局。下面一个例子可以诠释整体性和局部性的区别。

球面和环面（图1）的局部布局是一样的，若是在球面或环面上取一小块（如图1中的小圆片），它们的布局都等价于平面上的一小块；但球面和环面的整体布局是判然不同的，若是将球面想象为橡皮的，可以随意拉伸变形，甚至还可以剪开翻个身再按原缝粘归去，那么不管如何做这样的“拓扑变换”，也仍是不克不及把球面酿成环面。用拓扑学的术语说，就是球面与环面不“同胚”。由此可见，即使完全领会局部布局，仍然可能对整体布局毫无所知。

图1

20宿世纪的数学与此前的数学比拟，最显著的特点就是整体性。粗拙地说，20宿世纪前的数学都是“局部的”数学，即使涉及整体的研究对象（如射影空间），也是采用局部的研究方式。研究整体性的底子方式是从拓扑学的成立起头的。而关于整体布局的研究，是在此前关于局部布局的研究已经半斤八两当作熟的根本上发生的。

拓扑学给出数学的一个新的深刻理念，这个理念和各类方式逐渐渗入到数学的其他范畴，改变了整个数学的面孔，而且影响到数学之外的学科如物理、化学等。

不懂拓扑学的人，对现代数学也不免有曲解和成见。

3 整体几何

空间不仅有拓扑布局，并且还有其他布局如微分布局。如上所说，早期微分几何是“局部”的微分几何，但关于整体的问题是有的，只是没有系统的方式和东西。在1930年月拓扑学已有了坚实的根本，进一步将其他布局插手应该提到研究日程中来。在解决具体问题中，陈省身做了这一开创性的工作，从此发生了“整体微分几何”。

此后，整体微分几何的理念和方式渗入到数学的其他范畴，如多复变函数论、代数几何、数论等，改变了整个数学的面孔，而且影响到数学之外的学科如物理等。

4 几何阐发

在1970年月，丘当作桐在解决卡拉比猜想中采用了硬阐发（微分方程的深刻方式和成果），这一新的有力方式可用于解决良多其他难题，从而发生了一个新的学科“几何阐发”，这是现代数学中最富有活力且成长最快的范畴之一，且影响到数学之外的学科如物理等。

由上面这些例子不难看出，每一个“台阶”都有新的哲学理念。是以，在进修数学时每上一个台阶，数学程度城市有素质的提高，是没有上这个台阶的人所无法比拟的。不仅如斯，每个台阶一旦上去，终生都不会下来了。

上一个台阶很难吗？其实未必，因为每个台阶都是始于一个原始的理念，既不深邃也不复杂，更没有上面所说的“技巧”。良多人上不去却是因为心理障碍造当作的，具体地说，若是对于数学已经有了当作见，那么碰到一个新的理念与当作见冲突时，就可能从心理上拒绝接管。

4数学派生出的交叉学科

良多介绍数学的感化的文章，会介绍数学的应用范畴：物理、化学、生命科学、工程、大数据、人工智能、机械人等等。但非专业的读者一般只能肤浅地舆解。

我们可以从另一个角度申明数学的感化。近一百多年来，数学的应用发生出良多新的交叉学科，它们原属于数学，但后来自力出去。这样的大学科有十几个：统计学、办理科学、计较机科学、系统科学、非线性科学、逻辑学、经济学、机械证实、博弈论、编码与暗码学等等。

我们下面做一点简单的介绍。

01 逻辑学

逻辑学本来属于文科，那时并没有严酷的科学方式。直到大约一百年前，数学的方式进入了逻辑学范畴，此后从底子上改变了逻辑学的面孔（参看 [3] ）。

起先是“命题演算”的发生，由此可用数学方式做“零级逻辑”推理。例如此刻常见的“推理操练”题都可以转换当作数学运算，并且可以机械化（即用电脑计较解决）。由此还发生了“布尔代数”。后来进入更深一级的“谓词演算”，现实上一般的数学命题都含有“谓词”（“存在”或“一切”），如加法互换律的精确陈述是“对肆意两个数 a、b，都有 a+b=b+a”，平面几何中的第一条连系正义的精确陈述是“对肆意两个点，存在一条直线同时颠末它们”。命题演算和谓词演算形当作一个新学科“数理逻辑”。

在今天，数理逻辑已经当作为一个规模很广且内容深刻的学科，影响到良多其他范畴，如纯粹数学、计较机科学等，它素质上是研究逻辑的科学方式。由此，今天不懂数理逻辑的人是没有资格研究逻辑学的。

02 统计学

统计学本来也属于文科，那时并没有严酷的科学方式，所用到的数学很初等。直到1930年月概率论奠基根本后，发生了“数理统计”这个新学科，从此统计有了科学的研究方式，从底子上改变了统计学的面孔。

从今天的目光看来，统计的根基使命是“大数据处置”。因为大数据难以避免“恍惚性”，所以概率论是不成或缺的根基东西。但今天统计学中所需要的数学东西远不止概率论。

在今天，统计学的研究者若没有很好的数学本质，是不成能在高端的统计学杂志颁发文章的。

统计学的普遍应用使其当作为一个很发财的学科。在良多高程度的大学里，统计系不仅自力，并且比数学系大。

03 运筹学

运筹学可以看作应用数学的一个方面。在良多应用数学问题中有特心猿意马的“方针”，例如速度、质量、当作本、效率等，但愿对此方针做得尽可能好。在数学中这称为“优化”，它经常可以表达为一个函数的最大值问题。

运筹学普遍应用于工程、经济、城市规划、金融、军事等良多范畴，是一个很发财的学科。在今天，良多高程度的大学里有运筹学系（如加州大学的 IEOR），比数学系大得多。

04 信息科学

“信息”是一个物理对象，但并没有进入古典的物理学。信息科学的成立发源于喷鼻农在1940年月对通信的研究。

通信会碰到噪声干扰，喷鼻农追求一个可以描绘“紊乱水平”的物理量，他发现所获得的公式竟与热力学中“熵”的公式一致，就把它也称作“熵”。多年后颠末良多人的研究，终于大白“信息熵”与热力学熵的一致性。由此可见，喷鼻农的“熵”揭示了一个深刻的物理奥秘，有极主要的哲学意义。

信息科学也是从数学中派生出来的，公认 1948 年喷鼻农颁发的论文“通信的数学理论”是信息论的奠定之作。

在今天的“信息社会”中，信息科学所起的感化无疑是庞大的。现代信息科学是一个自力学科，但其数学性很强。

05 节制论

与“信息”相似，“节制”也是一个物理对象，但并没有进入古典的物理学。

一般认为1948年维纳颁发的《节制论——关于在动物和机械中节制和通信的科学》一书是节制论的奠定之作。维纳将节制论看作是一门研究机械、生命社会中节制和通信的一般纪律的科学，是研究动态系统在变的情况前提下若何连结均衡状况或不变状况的科学。这也是有极主要的哲学意义的。

节制论也是从数学中派生出来的。在今天，节制论的思惟和方式已经渗入到几乎所有的天然科学和社会科学范畴。

泛言之，运筹学、信息科学、节制论等都可以归入“系统科学”这个大类。

06 编码与暗码学

在通信中常要将字母转换为数字旌旗灯号，这就是“编码”。编码的方式多而广，例如为了通信保密居心改编原文（即“加密”），但要使领受者可以或许再改编回原文（即“解密”）。这方面的成长形当作了“暗码学”。

编码的感化远不止于保密。另一个主要感化是“纠错”。在通信中不免呈现旌旗灯号传输错误，采用恰当的编码可以削减错误，或在发生错误时主动改正。在计较机和收集中大量利用编码。

最早的编码可能是由“伶俐人”拍脑壳想出来的，但编码的深度成长离不开数学。常用的数学东西有代数、数论、组合学等，但不解除利用其他数学方式。

07 计较机科学

计较机最早的使命方针是将数学计较机械化，其可能性建筑在早期的数理逻辑根本之上。因为这个布景，数理逻辑是今天计较机专业的学生都要进修的根本课。

计较机发现出来今后，在利用中碰到良多新问题，如计较机系统布局阐发、计较机靠得住性论证等，遂形当作专门研究这些问题的一个新学科，即“计较机科学”。

当今的计较机科学是数学、电子科学、信息科学等学科和手艺科学的交叉。不外早年的计较机科学是由一些数学家奠基根本的。我国计较机科学的创始人满是数学家。

计较机科学所用到的数学远不止数理逻辑，数学物理的良多东西都要用到，此外还有“离散数学”、代数、拓扑等。

08 数理经济学

与统计学相似，早年经济学所用到的数学很初等，但19宿世纪有一些经济学家利用了较深的数学，后来他们的工作被称为“数理经济学”。不外现代的数理经济学本家儿如果1960年月今后的工作，这些工作所用到的数学半斤八两深。

在今天，经济学的研究者若没有很好的数学本质，是不成能在高端的经济学杂志颁发文章的。

09 博弈论

博弈论始于1920年月策墨罗、波莱尔、冯·诺依曼等数学家研究匹敌性的游戏，而对策不仅存在于游戏中，也存在于生物行为、经济、军事、政治、社会关系、交际等范畴，所今后来有了普遍的应用。

有多位博弈论专家获得诺贝尔经济学奖。

10 数学机械化

数学机械化发源于机械证实问题，即可否用计较机来证实一个数学心猿意马理。1976年计较机被用来证实图论中的四色心猿意马理。不克不及等候用计较机证实一般的数学心猿意马理，但可期望对某个数学范畴有一个一般的方式，可以证实限制规模的所有心猿意马理。

1970年月，吴文俊给出了欧几里德几何中一般的尺度类型心猿意马理的机械证实方式，这可以理解为一大类数学心猿意马理可用计较机证实。后来实现的计较机程序，可经由过程人机对话将问题输入，计较机可主动寻找有关所输入的几何图形的所有心猿意马理，并给出每个心猿意马理的证实（证实一般较为冗长但人可读，参看 [10] ）。具体的实现过程利用符号计较。

数学机械化可使数学证实的工作大为减轻，不需要伤脑子的工作即可解决。它可以看作一种人工智能。上述机械证实不仅比AlphaGo早得多，也强得多（AlphaGo只能大要率地包管给出解决方案，而上述机械证实能绝对包管给出解决方案）。

迄今为止在其他多个范畴也稀有学机械化的研究，但尚未在其他范畴获得如欧几里德几何范畴那样完美的成果。

11 办理科学

办理原属社会经验范畴，并无根基的科学的方式。自 1920 年月后数学家测验考试用系统科学的方式研究办理，逐渐发生了办理科学。

我国的办理科学的开创者都是数学家。

12 非线性科学

“线性”是数学中的一种具有普遍应用的性质，例如在通信中需要将旌旗灯号放大而不改变旌旗灯号的布局，这就是“线性放大”。但另一方面，通信中的载波、检波等要改变旌旗灯号的布局，这是需要经由过程非线性的方式才能达到的。

“非线性”现象在物理学、天文学、地球科学、生命科学等良多学科和公共工程、电子手艺等良多应用范畴遍及存在，所涉及的问题相距甚远，但在数学上有共性。由此形当作一个专门研究非线性的交叉学科。

13 金融数学

信贷、股票、期货、保险等金融课题的研究离不开数学，并且深切的研究需要半斤八两多的数学东西如微积分、概率论、组合学、微分方程等等。甚至还用到一些高深的数学东西，例如山东大学彭实戈传授因对“倒相随机微分方程”的研究当作果而受邀在国际数学家大会上做一小时陈述，就是因为这项当作果可以应用于金融。

在 1950年月后，数学在金融研究中的日益主要感化形当作了金融数学。当今不懂金融数学的人很难在高程度的金融杂志颁发论文。

14 精算学