一壶烧开的水从多高倒进嘴里不会觉得烫？

图片：kavekostolo / CC0

知乎用户，云行雨施，品物流形

先说结论：大约50米摆布。

水从高空落下，先倒的水快，后倒的水慢，所以必然很快扯破，当作为藐小的水滴。

是以，这里就只会商水滴的散热问题，而不考虑一大团水的散热。因为这种环境更为常见，计较也更为简单。

本着物理学「真空中球形鸡」的思维体例，这里考虑球形小水滴。因为水滴在高速下落，所以其四周空气的温度，其实可以视为不受水滴影响。这种近似有其物理按照——在低温物理中，人们经常用低温流体为物体降温、连结温度，可以使物体温度的浮动降到很低。

又为了更进一步的简化，这里将水滴视为两层——内层和外层：

内层的半径为 $r_c$ ，而外层的半径为 $r_0$ 。因为内层很小，所以假设温度平均。而外层之中的传热，则视作近稳恒传热，合适能量输入、输出相等的原则。

这个假设当然不严酷合适现实，但可以连结数学上的简练。最终的成果，也不会与真实数值相差甚远。

所以，这里外层的温度合适这样的形式：

$\frac{T_a \left(-\log \left(r_c\right)\right)+\log (r) \left(T_a-T_c\right)+T_c \log \left(r_0\right)}{\log \left(r_0\right)-\log \left(r_c\right)}$

其图像是这样的：

真实的温度分布当然不是这样，这里做了近似。但误差不会很大。后面我们会看到，内层的巨细，对于成果影响不大。

经由过程上式，轻易求的内层散热的速度：

$\frac{\text d Q}{\text dt}=\frac{4 \pi k r_c \left(T_a-T_c\right)}{\log \left(r_0\right)-\log \left(r_c\right)}$

据此，可以获得内层温度随时候转变的函数：

$T(t)=\left(T_b-T_a\right) \exp \left(-\frac{3 k t}{c \rho r_c^2 \log \left(r_0\right)-c \rho r_c^2 \log \left(r_c\right)}\right)+T_a$

此中， $T_b$ 即开水温度，为100摄氏度， $T_a$ 为空气温度，这里设心猿意马为20摄氏度。c是水的比热，k是水的热导率， $\rho$ 是水的密度。

如斯，即可绘制水滴焦点温度随时候转变的图像：

可以看到，若是水滴半径为3mm，那么，不外五六秒，水滴的焦点温度就已经可以进口了。到了十秒，温度就接近空气了。并且，非论拔取焦点半径是几多，其曲线的不同都不太大。这里可以认为，平安时候大约是5秒。

水淌下落时，因为空气阻力的影响，其最终速度，大约在9～13m/s之间。这里为了简单，取10m/s。而雨滴要加快到这一速度，只要1秒。

取平安时候来计较水滴的高度，获得的高度是50米。也就是说，大约五十米的高度，就足以闪开水冷却到平安的温度了。

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